Διδακτική αξιοποίηση της μη γραμμικότητας στη γενική εκπαίδευση

Abstract

Με την εργασία αυτή διερευνούμε αν μπορεί να ενταχθεί η διδασκαλία της μη γραμμικότητας στα μαθηματικά της Γενικής Εκπαίδευσης. Η ερευνητική μας υπόθεση είναι αυτό μπορεί να γίνει με κατάλληλες δραστηριότητες των οποίων το είδος, αλλά και εκπαιδευτική βαθμίδα εφαρμογής τους, θα προσδιοριστεί από την ίδια την ερευνητική δραστηριότητά μας. Η διερεύνηση που διήρκησε από το 2004 έως και το 2009 πέρασε από τρία στάδια, στα οποία εφαρμόσαμε διαφορετικές μεθοδολογικές προσεγγίσεις. Στο πρώτο στάδιο (έτη 2004 και 2005) η αρχική έρευνα δράσης σε Ελλάδα και Γερμανία έδειξε τα όρια της ερευνητικής μας υπόθεσης στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση, ανέδειξε όμως τη σημασία της πολιτισμικής παραμέτρου στη διδασκαλία της μη γραμμικότητας. Στη συνέχεια η έρευνα δράσης στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση στην Ελλάδα, έδειξε ότι η ερευνητική υπόθεσή μας μπορεί να επαληθευθεί, και μας οδήγησε να επιλέξουμε την Γ ́ Γυμνασίου ως την εκπαιδευτική βαθμίδα στην οποία θα εντάξουμε τη διδασκαλία της μη γραμμικότητας. Με τον πυρήνα της διδακτικής παρέμβασης στη Γ ́ γυμνασίου επιβεβαιωμένο, η επιβαλλόμενη συνέχεια ήταν η πληρέστερη δυνατή διερεύνηση και ποιοτική ανάλυση των διδακτικών μας έργων, με έμφαση στον τρόπο σκέψης των μαθητών σχετικά με τους γνωστικούς στόχους που θέσαμε. Για τον λόγο αυτό ακολούθησε το 2006 σε δεύτερο στάδιο η σπουδή περίπτωσης σε ένα συγκεκριμένο Γυμνάσιο, η οποία (συμπεριλαμβανομένης και της διαθεματικής παραμέτρου) ανέδειξε το βασικό εργαλείο για τη μελέτη της ερευνητικής μας υπόθεσης: Διδακτική παρέμβαση στη Γ ́ γυμνασίου με ομαδοσυνεργατικές δραστηριότητες, που εκμεταλλεύονται το παιχνίδι του χάους, το τρίγωνο Sierpinski, τις προσομοιώσεις fractal σχημάτων και τη διάσταση αυτοομοιότητας Sierpinski. Από το 2006 ως και το 2009 πραγματοποιήσαμε το τρίτο και τελικό στάδιο της διερεύνησής μας με μεθοδολογία του τύπου της θεμελιωμένης θεωρίας σε 15 γυμνάσια σε Θεσσαλονίκη και Βόλο. Με τη θεμελιωμένη θεωρία, η ποσοτική και ποιοτική ανάλυση -με συνεχή έλεγχο και ανατροφοδότηση- ανέδειξε την τελική μας πρόταση. Η οριστική πρόταση στην οποία καταλήξαμε περιλαμβάνει πέντε διδακτικές δραστηριότητες σε δυο ημέρες από δυο ώρες διδασκαλίας στη Γ ́ γυμνασίου. Επιδιώξαμε τέλος μετά την παρέμβαση σε ορισμένα γυμνάσια, διαθεματική γέφυρα με το παιχνίδι του χάους της παρέμβασης, με έναν συνδυασμό συνέντευξης και πειράματος μαγνητικού εκκρεμούς, γνωστό από προηγούμενες διδακτικές έρευνες της μη γραμμικότητας στη φυσική. Στην εργασία μας πιστεύουμε ότι υπάρχουν δυο καινοτομίες: 1. Το διδακτικό έργο στο παιχνίδι του χάους όπου οι μαθητές εργάζονται όχι με πληκτρολόγιο, αλλά με τα χέρια με χάρακα και ζαράκι, και διαπιστώνουν την απρόβλεπτη εξέλιξη του δυναμικού συστήματος αλλά τελικά και την εσωτερική τάξη σε όλες τις διαφάνειες της τάξης τους. Η δική τους διαφάνεια και το σύνολο των διαφανειών της τάξης στο διαφανειοσκόπιο, αντικαθιστούν την οθόνη του ηλεκτρονικού υπολογιστή. 2. Το διδακτικό έργο της διαπίστωσης και εύρεσης της άρρητης διάστασης αυτοομοιότητας του τριγώνου Sierpinski (και στη συνέχεια της γραμμής von Kochκαι Cantor) χωρίς τη χρήση λογαρίθμων, αλλά με τον συνδυασμό του λόγου αυτοομοιότητας και την προσέγγιση της άρρητης διάστασης με τη βοήθεια υπολογιστών τσέπης (μάλιστα με ακρίβεια 0,01 σε όλα τα γυμνάσια). Η εκτενής διερεύνηση της εργασίας μας με μεικτή μεθοδολογία και ο σημαντικός όγκος δεδομένων, ενισχύουν την εγκυρότητα της αξιοποίησης της μη γραμμικότητας στη γενική εκπαίδευση. Η ποσοτική και ποιοτική ανάλυση των τελευταίων ετών έδειξε την κάλυψη των γνωστικών μας στόχων σε ένα επίπεδο που δεν αναμέναμε στην αρχή της προσπάθειάς μας, και επιβεβαιώνει τη δυνατότητα διδακτικής αξιοποίησης της μη γραμμικότητας στη Γ ́ τάξη γυμνασίου, επαληθεύει δηλαδή την ερευνητική μας υπόθεση.