Κατασκευή απολύτως συνεχών τυχαίων μέτρων πιθανότητας

Abstract

This thesis is part of the scientific field of the Bayesian nonparametric Statistics. The specific problems examined are related to constructing absolutely continuous random probability measures on one-dimensional and multi-dimensional Euclidean spaces. However, several outcomes of this study can be applied in more general spaces, such as Polish spaces. The methodology was developmented based on a generalization of Khinchin and Shepp’s Theorem which characterizes (block) unimodal distributions. This generalization is based on using uniform distributions on [α,1] with 0 ? α ? 1. The resulting distributions are called partial convexified distributions. By applying the above generalization it is proved that each partial convexified distribution is expressed as a mixture of uniform distributions. The randomly produced distribution of aDirichlet process is assumed as the mixture distribution of the stochastic model. Following, the analytical form of prior partial convexified distributions on each finite dimension is investigated. Through this structure, the closed form of the posterior distribution is determined. The analytic approach is complemented by simulation methods on one-dimensional and multi-dimensional Euclidean spaces applied in simulated and real data. The main conclusion reached on the methodology of partial convexification is that the prior focuses on the space of multimodal distributions and therefore on the space of absolutely continuous distributions.

Η παρούσα Διατριβή εντάσσεται στην επιστημονική περιοχή της μη παραμετρικής Μπεϋζιανής Στατιστικής. Τα κύρια προβλήματα που μελετώνται αφορούν την κατασκευή απολύτως συνεχών τυχαίων μέτρων πιθανότητας στο μονοδιάστατο και πολυδιάστατο Ευκλείδειο χώρο αν και αρκετά αποτελέσματα είναι σε ισχύ σε γενικότερους χώρους, όπως οι Polish χώροι. Η μεθοδολογία που αναπτύσσεται βασίζεται σε μια γενίκευση που δίνουμε στο Θεώρημα των Khinchin και Shepp που χαρακτηρίζει τις (block) μονοκόρυφες κατανομές. Η εν λόγω γενίκευση έγκειται στη χρησιμοποίηση μειγμάτων ομοιόμορφων κατανομών στο [α,1] με 0 ? α ? 1 και οι παραγόμενες κατανομές καλούνται κατανομές μερικής κύρτωσης. Εφαρμόζοντας την παραπάνω γενίκευση κάθε κατανομή μερικής κύρτωσης γράφεται ως μείγμα από ομοιόμορφες πυκνότητες. Ως κατανομή μείξης του στοχαστικού μοντέλου θεωρείται η παραγόμενη τυχαία κατανομή μιας ανέλιξης Dirichlet. Στην συνέχεια, ερευνάται η αναλυτική μορφή των prior κατανομών μερικής κύρτωσης σε κάθε διάσταση. Μέσω της συγκεκριμένης δομής γίνεται και ο προσδιορισμός σε κλειστή μορφή της posterior κατανομής. Η παραπάνω αναλυτική προσέγγιση συμπληρώνεται με την ανάπτυξη μεθόδων προσομοίωσης, στο μονοδιάστατο και πολυδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, και την εφαρμογή τους σε προσομοιωμένα και πραγματικά δεδομένα. Το κύριο συμπέρασμα που προέκυψε σχετικά με την αναπτυχθείσα μεθοδολογία είναι ότι η prior επικεντρώνεται στο χώρο των πολυκόρυφων κατανομών και συνεπώς στο χώρο των απολύτως συνεχών κατανομών.