Electromagnetic simulation and eigen-analysis of three dimensional radiating structures based on the finite element method

Abstract

The goal of the dissertation is the eigenanalysis of open - radiating structuresemploying the Finite Element Method (FEM). In eigenanalysis the wave equationis solved in the absence of the source. The main reason that the work is directedto eigenanalysis is the fact that in this manner a physical insight of the structure’sfeatures can be achieved. It is actually a complementary analysis to the deterministicapproach - the approach where the wave equation is solved in the presence of asource. The eigenanalysis is actually employed as a precursor of the deterministicapproach, introducing vital guidelines for the structure’s functionality.To model the radiation condition of a structure a truncation technique is used.The main idea is the introduction of a fictitious surface around the studying struc-ture restricting the infinite domain. The fictitious surface introduces a compleximpedance, while main aim its transparency to any scattering wave. The techniquesthat can be used for the analysis of the open radiating structures can be classifiedinto the local and global techniques, a term that is connected with the kind of theboundary conditions that are imposed on the fictitious surface. In this dissertationboth a local and a global technique are developed exploiting in each case theiradvantages. Moreover the problem of spurious modes is extensively discussed and anovel technique for the suppression of these erroneous solutions is introduced.For the local boundary conditions the Absorbing Boundary Conditions (ABC)of both 1st and 2nd kind have been implemented. Since the local boundary conditionsintroduce spurious modes a technique for the suppression of these modes was developedduring the dissertation. The technique has been developed in a general scheme, thusit can be applied to any type of the next polynomial problems: i) closed cavitieswith Perfect Electric Conductor (PEC) boundary conditions, ii) closed cavitieswith Perfect Magnetic Conductor (PMC) boundary conditions, iii) closed cavitieswith Finite Conductivity on the bounds (this is the case of surface impedance, theLeontovich boundary condition), iv) closed cavities with lossy material (this is thecase of migrating charge carriers in the inner domain), v) open radiating structuresimplementing the ABC of 1st or 2nd kind, vi) any combination of the previousproblems.For the global boundary conditions the vector Dirichlet-to-Neumann (DtN)mapping technique has been developed. In order to truncate the solution domainthe studied structure is enclosed inside a fictitious surface. In this case the elec-tromagnetic field outside the sphere is developed into a sum of infinite amount ofspherical harmonics. These harmonics are expressed with the assistance of Hankelspherical functions of ν = n + 1/2 order and second type in the radial directionρ, while they have sinusoidal dependence in the two angles φ and θ (e+jmφ ,e−jmθ ). Inside the sphere the finite element technique is adopted. The relationbetween the two solutions is achieved enforcing the continuity of both the electricand magnetic tangential components (Eφ, Eθ, Hφ, Hθ) on the artificial surface– Sf . The continuity conditions in the form of sum equation are transformed intoan equation system exploiting the orthogonality of the spherical harmonics. Theweighted coefficients of the expansion field of the domain outside the surface – Sfare the unknowns. The field expansion is expressed in terms of the field values onthe division surface – Sf and the boundary condition are appropriately defined.Thus, an equivalent closed problem is presented, which is written in terms of asystem of linear equations and can be solved for the known values of the field.Very useful is also the computation of the far field, which can be easily definedusing the weighted coefficients of the spherical harmonics. From the definition ofthe resonant frequencies (eigenvalues) and the field distribution for each mode thebest excitation can be chosen in order to achieve the desirable mode. Taking intoconsideration all the above the opened problem is transformed into an equivalentclosed general eigenvalue problem, which is however non-linear. This non-linearityappears due to the existence of the eigenvalue in the argument of Hankel functions.To overcome the non-linearity the Regula - Falsi algorithm is adopted, while it issolved with its projection in a Krylov subdomain and the application of the Arnoldialgorithm, which takes into advantage the sparsity of the matrices. This is actuallyand the main drawback of this technique. The fact that the matrix which bindstogether the field distribution of the two domains (inner/numerical expansion andouter/analytical expansion) has to be set in every iteration after the implementationof the Regula-Falsi algorithm. This makes the developed technique too slow andcomputationally inefficient.

Σκοπός της διατριβής αυτής είναι η ιδιοανάλυση ανοικτών ακτινοβολουσών δομών με την εφαρμογή της αριθμητικής τεχνικής πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM). Στην ιδιοανάλυση η εξίσωση κύματος επιλύεται απουσία πηγής. Ο βασικός λόγος για τον οποίο η εργασία αυτή κατευθύνθηκε στην ιδιοανάλυση είναι το γεγονός πως μέσω αυτής μπορούν να μελετηθούν τα φυσικά χαρακτηριστικά της υπό μελέτης δομής. Πρόκειται στην πραγματικότητα για μια συμπληρωματική ανάλυση της αιτιοκρατικής-ντετερμινιστικής προσέγγισης (πρόκειται για την προσέγγιση στην οποία η εξίσωση κύματος επιλύεται παρουσία πηγής). Η ιδιοανάλυση εφαρμόζεται στην ουσία σε πρώτο χρόνο πριν την αιτιοκρατική προσέγγιση, εισάγωντας ζωτικής σημασίας κατευθυντήριες γραμμές για τη λειτουργικότητα της υπό μελέτης δομής.Προκειμένου να μελετηθεί η συνθήκη ακτινοβολίας μιας δομής είναι απαραίτητη η εισαγωγή μιας τεχνικής περιορισμού του χώρου επίλυσης. Η βασική ιδέα είναι η εισαγωγή μιας φανταστικής επιφάνειας γύρω από την υπο μελέτη δομή, περιορίζοντας τον άπειρο χώρο επίλυσης. Η φανταστική επιφάνεια εισάγει μια μιγαδική αντίσταση, ενώ βασικός της σκοπός είναι να είναι διαφανής σε οποιοδήποτε σκεδανύμενο κύμα. Οι τεχνικές που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση ανοικτών ακτινοβολούντων δομών μπορεί να κατηγοριοποιηθεί στις τοπικές και καθολικές τεχνικές. Η διάκριση αυτή σχετίζεται με το είδος των οριακών συνθηκών που εφαρμόζονται πάνω στη φανταστική επιφάνεια. Στα πλαίσια της διατριβής αυτής γίνεται η ανάπτυξη τόσο μιας τοπικής όσο και μιας καθολικής τεχνικής, εκμεταλλευόμενοι κάθε φορά τα πλεονεκτήματα που προσφέρει η καθεμία. Επιπρόσθετα, το πρόβλημα της εμφάνισης ψευδών λύσεων αναλύεται εκτενώς και προτείνεται μια νέα τεχνική για την απομάκρυνσή τους.Για τις τοπικές οριακές συνθήκες οι απορροφητικές οριακές συνθήκες (absorbing boundary conditions, ABC) πρώτης 1ης και δεύτερης 2ης τάξης εφαρμόζονται. Δεδομένου ότι οι τοπικές οριακές συνθήκες εμφάνιζουν έκδηλα το πρόβλημα των ψευδών λύσεων μια νέα τεχνική για την απομάκρυνσή τους αναπτύχθηκε στα πλαίσια της διατριβής. Η τεχνική αναπτύχθηκε σε μια γενικευμένη μορφή με τέτοιο τρόπο ώστε να μπορεί να εφαρμοσθεί σε μια σειρά από συχνά εμφανιζόμενα προβλήματα στον ηλεκτρομαγνητισμό: i) κλειστές κοιλότητες με τέλεια ηλεκτρικά αγώγιμα τοιχώματα, ii) κλειστές κοιλότητες με τέλεια μαγνητικά αγώγιμα τοιχώματα, iii) κλειστές κοιλότητες με πεπερασμένη αγωγιμότητα τοιχωμάτων (συνθήκη Leontovich), iv) κλειστές κοιλότητες με απώλειες εξαιτίας αγώγιμων φορέων στο εσωτερικό τους, v) ανοικτές ακτινοβολούσες διατάξεις με την εφαρμογή απορροφητικών οριακών συνθηκών πρώτης 1ης και δεύτερης 2ης τάξης, και vi) οποιοδήποτε συνδυασμό των παραπάνω περιπτώσεων.Για τις καθολικές οριακές συνθήκες η διανυσματική τεχνική απεικόνισης δεδομένων Dirichlet σε δεδομένα Neumann (Dirichlet to Neumann mapping, DtN) αναπτύχθηκε. Προκειμένουν να περιορισθεί ο άπειρος χώρος επίλυσης μια φανταστική σφαίρα σχεδιάζεται μέσα στην οποία εσωκλείεται η υπό μελέτη δομή. Στην περίπτωση αυτή το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο έξω από τη σφαίρα περιγράφεται από ένα άπειρο πλήθος σφαιρικών αρμονικών. Οι αρμονικές αυτές εκφράζονται σε όρους σφαιρικών αρμονικών Hankel τάξης v=n+1/2 και δεύτερου τύπου στην ακτινική διεύθυνση, ενώ έχουν και ημιτονοειδή εξάρτηση στις δύο γωνίες φ και θ (e^{+jmφ} , $e^{-jmθ}). Μέσα στη σφαίρα αναπτύσσεται η αριθμητική τεχνική των πεπερασμένων στοιχείων. Η συσχέτιση των δύο λύσεων επιτυγχάνεται με την εφαρμογή της συνέχειας του πεδίου τόσο ως προς τις ηλεκτρικές όσο και ως προς τις μαγνητικές εφαπτομενικές συνιστώσες (Eφ, Eθ, Hφ, Hθ) πάνω στην φανταστική επιφάνεια. Στη συνέχεια εφαρμόζονται οι συνθήκες ορθογωνιότητας τωνς σφαρικών αρμονικών καταστρώνοντας ένα σύστημα εξισώσεων. Οι συντελεστές βάρους του αναπτύγματος του πεδίου του χώρου έξω από τη σφαιρική επιφάνεια αποτελούν τους άγνωστους. Το ανάπτυγμα του πεδίου εκφράζεται με τον τρόπο αυτό σε όρους των συναρτήσεων των πεπερασμένων στοιχείων μέσω των οριακών συνθηκών. Έτσι με τον τρόπο αυτό καταστρώνεται μια κλειστή έκφραση, η οποία είναι γραμμένη σε ένα σύστημα εξισώσεων και που μπορεί να επιλυθεί ώστε να προσδιοριστούν οι τιμές του πεδίου. Πολύ σημαντικός επίσης είναι ο υπολογισμός του μακρινού πεδίου, το οποίο μπορεί εύκολα να υπολογισθεί αξιοποιώντας τους συντελεστές βάρους των σφαιρικών αρμονικών. Με βάση τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι δυνατόν να επιλεγεί η καλύτερη τροφοδοσία ώστε να επιτευχθεί ο κατάλληλος ρυθμός. Λαμβάνοντας υπόψιν όλα τα παραπάνω, το ανοικτό πρόβλημα μετασχηματίζεται σε ένα ισοδύναμο κλειστό γενικευμένο πρόβλημα ιδιοτιμών, το οποίο όμως είναι μη-γραμμικό. Η μη γραμμικότητα παρουσιάζεται εξαιτίας της εμφάνισης της ιδιοτιμής του προβλήματος στο όρισμα των συναρτήσεων Hankel. Για να αντιμετωπιστεί η μη-γραμμικότητα αυτή ο αλγόριθμος εσφαλμένης θέσης (regula falsi) αναπτύσσεται, ενώ το πρόβλημα ιδιοτιμών επιλύεται με την προβολή του αρχικού προβλήματος σε ένα χώρο Krylov και την εφαρμογή του αλγορίθμου Arnoldi αξιοποιώντας την αραιότητα των πινάκων. Αυτό είναι και το βασικό μειονέκτημα της τεχνικής αυτής. Το ότι ο πίνακας διασύνδεσης των δύο λύσεων πρέπει να καταστρώνεται σε κάθε επανάληψη του αλγορίθμου γραμμικοποίησης regula falsi. Αυτό κάνει την τεχνική αυτή αρκετά αργή και υπολογιστικά μη-αποδοτική.