Διασπάσεις ομάδων και σχεδόν ισομετρίες

Abstract

This thesis is divided in two parts; in the first part we study vertex transitive graphs in relation to group theory, and in the second part we study some quasi-isometry invariants of geometric group theory. Specifically, we start by examining isoperimetric inequalities and we prove rough structure theorems for vertex transitive graphs, furthering the work of DeVos and Mohar. In the second part, on a joint work with Funar and Otera, we study the growth of semistability and the simple connectivity at infinity of hyperbolic groups. We prove that the semistability growth of a hyperbolic group is linear, and when the group is simply connected to infinity then the growth of the simple connectivity at infinity is also linear.

Η εργασία αυτή χωρίζεται σε δύο μέρη, στο πρώτο μελετάμε συνεκτικά συμμετρικά γραφήματα και πως αυτά σχετίζονται με τη Θ. Ομάδων, και στο δεύτερο κάποιες βασικές ασυμπτωτικές αναλλοίωτες της γεωμετρικής θεωρίας ομάδων. Ιδιαιτέρως, αρχικά, ασχολούμαστε με ισοπεριμετρικές ανισότητες και διατυπώνουμε δομικά θεωρήματα για συμμετρικά γραφήματα, επεκτείνοντας τη δουλειά των DeVos και Mohar. Στο δεύτερο μέρος, σε συνεργασία με τους Funar και Otera, μελετάμε τους ρυθμούς ανάπτυξης της ημιευστάθειας και της απλής συνεκτικότητας στο άπειρο υπερβολικών ομάδων. Συγκεκριμένα, αποδεικνύουμε ότι ο ρυθμός ανάπτυξής της ημιευστάθειας μίας υπερβολικής ομάδας είναι γραμμικός, και αν η ομάδα είναι απλά συνεκτική στο άπειρο τότε ο ρυθμός ανάπτυξης της απλής συνεκτικότητας στο άπειρο είναι γραμμικός.