Το αξίωμα της επιλογής στην τοπολογία

Abstract

Η παρούσα διατριβή αποτελείται απο τέσσερις βασικές ενότητες. Η πρώτη παρουσιάζει τις τεχνικές απόδειξης της ανεξαρτησίας του αξιώματος της επιλογής απο τις θεωρίες συνόλων ZFA και ZF αντίστοιχα. Η δεύτερη ενότητα αφορά την γενική τοπολογία και αποτελείται από έξι υποενότητες. Οι τρείς πρώτες ασχολούνται με τη θεωρία κλειστών φίλτρων σε τ. χώρους (επέκταση κλειστών φίλτρων σε κλειστά υπέρφιλτρα χαρακτήρας υπερφίλτρων) και πως αυτή συνδέεται με το θεώρημα συμπαγείας του tychonoff, γνωστού ισοδύναμου του αξιώματος επιλογής. Η τέταρτη υποενότητα αφορά τις έννοιες των loeb και ασθενώς loeb χώρων. Κατασκευάζεται ένα νέο μοντέλο μεταθέσεων για την ZF^0 προς απόδειξη ανεξαρτησίας τοπολογικών προτάσεων που αφορούν τις παραπάνω έννοιες απο την ZF^0 θεωρία συνόλων. Στην πέμπτη και έκτη υποενότητα μελετάται η θέση προτάσεων της μετρικής τοπολογίας στην ιεραρχία των ασθενών μορφών επιλογής. Κατασκευάζεται ένα forcing μοντέλο της ZF θεωρίας συνόλων προς απόδειξη ανεξαρτησίας γνωστών προτάσεων της θεωρίας των μετρικών χώρων απο την ZF. Η τρίτη ενότητα αφορά ασθενείς μορφές του αξιώματος της επιλογής για οικογένειες μη κενών υποσυνόλων της ευθείας των πραγματικών αριθμών R και γνωστές από τη μαθηματική ανάλυση ιδιότητες του R οι οποίες δεν αποδεικνύονται χωρίς χρήση κάποιας μορφής επιλογής. Η τέταρτη ενότητα αφορά μη κατασκευάσιμες ιδιότητες καλά διατεταγμένων Τ_2 τοπολογικών χώρων. Δίνονται απαντήσεις σε ανοικτά ερωτήματα.