Αλγοριθμική ανάλυση πολλαπλών κλιμάκων σε δυναμικά συστήματα: συζεύξεις αργής και γρήγορης δυναμικής

Abstract

In this Thesis three multiscale models are analysed, with the use of the Computational SingularPerturbation (CSP) method. The CSP method is an iterative procedure which is based on the theory of Geometrical Singular Perturbation. Given a Stiff system, CSP can i) identify the variables which are related the most with the “fast” timescales, ii) approximate the Slow Invariant Manifolds that are created in the phase space when the “fast” timescales are considered exhausted and iii) give an approximation of the reduced system, a system that it’s dynamics are governed from the slow timescales, that governs the solution on the SIM.The three specific multiscale models that will be analysed in this work are i) the chaotic Rosslerattractor, ii) the Wnt pathway, that models the transfer of a signal from the cell membrane to the cell’s nucleus and iii) the Aerobic glycolysis model that models the production of Lactose in aerobic conditions in the glycolysis pathway.In the Rossler model the reduced system of the Rossler attractor will be compared with the fullmodel in order to compare the reduced system’s dynamics with the full system’s. It wiil be shown that the dynamics of the reduced system can be used as an indicator for a trajectory that is about to leave from a stable manifold into an unstable one. In both biological models, Wnt & Aerobic glycolysis, the number of the slow invariant manifolds that are forming, in each exhausted “fast” timescale, will be identified along with the equilibrations among each system’s reactions with the use of the CSP vectors. The way by which these equilibrations are modified in the crossections of the manifolds will be analysed and compared to the ones that are formed with the use of the eigenvectors. It will be shown that, these equilibrations can play a role in the way a signal travels through a pathway and to identify ways to control a system’s desirable property.The aim of this work is to investigate the relation between the slow and the fast modes of amodel and the relation between the individual fast modes, as they are recognised from the CSP basis vectors and the eigenvectors.

Στην παρούσα διατριβή μελετώνται τρία συστήματα πολλαπλών χρονοκλιμάκων, με την μέθοδο Computational Singular Perturbation (CSP). Η μέθοδος CSP αποτελεί μία υπολογιστική επαναληπτική διαδικασία η οποία βασίζεται στην θεωρία της Geometrical Singular Perturbation. Δεδομένου ενός δύσκαμπτου συστήματος (Stiff system), η CSP, μπορεί α) να αναγνωρίσει τις μεταβλητές που συνδέονται με τις “γρήγορες” χρονοκλίμακες, β) να προσεγγίσει τις αργές αναλλοίωτες επιφάνειες Slow Invariant Manifolds που δημιουργούνται στον χώρο φάσης όταν οι “γρήγορες” χρονοκλίμακες εξαντλούνται και γ) να υπολογίσει το απλοποιημένο σύστημα του οποίου η δυναμική περιλαμβάνει τις “αργές” χρονοκλίμακες και ορίζει την κίνηση πάνω στις αργές πολλαπλότητες. Συγκεκριμένα, τα μοντέλα που θα μελετηθούν είναι α) ο χαοτικός ελκυστής Rossler, β) το βιολογικό μονοπάτι Wnt, που αφορά την μεταφορά μια βιολογικής πληροφορίας στην μορφή σήματος από την μεμβράνη ενός κυττάρου στον πυρήνα και γ) το βιολογικό μονοπάτι της Αερόβιας γλυκόλυσης που περιγράφει τον τρόπο που παράγεται λακτόζη σε αερόβιες συνθήκες στο μονοπάτι της γλυκόλυσης, με σκοπό να εκφραστεί το φαινόμενο Warburg. Στο μοντέλο Rossler η δυναμική του απλοποιημένου μοντέλου θα συγκριθεί με την δυναμική του πλήρους μοντέλου με σκοπό να αναδειχθούν δυναμικές συμπεριφορές του πλήρους μοντέλου αλλά και να βρεθεί ένα εργαλείο αναγνώρισης για το πότε μία τροχιά ετοιμάζεται να μεταβεί από μία ευσταθή σε μία ασταθή πολλαπλότητα. Στο βιολογικό μοντέλο Wnt και στο μοντέλο Αερόβιας γλυκόλυσης θα αναγνωριστεί ο αριθμός των αργών αναλλοίωτων πολλαπλοτήτων που δημιουργούνται στον χώρο φάσης και οι ισορροπίες που δημιουργούνται μεταξύ των αντιδράσεων του μοντέλου με την χρήση των CSP διανυσμάτων. Θα μελετηθεί ο τρόπος με τον οποίο οι ισορροπίες αυτές τροποποιούνται στην τομή δύο η περισσότερων αργών πολλαπλοτήτων και πως μεταβάλλονται όταν υπολογιστούν με την χρήση των ιδιοδιανυσμάτων. Θα αναδειχθεί η βιολογική σημασία των ισορροπιών αυτών και πως η σωστή τους αναγνώριση μπορεί να παίξει ρόλο στον τρόπο μετάδοσης ενός βιολογικού σήματος αλλά και στον έλεγχο ενός φαινομένου μέσα σε ένα πολύπλοκο βιολογικό μονοπάτι. Σκοπός της μελέτης είναι να ερευνήσει τη σχέση μεταξύ των αργών και γρήγορων δυναμικών των συνιστωσών ενός μοντέλου αλλά και την σχέση μεταξύ των επιμέρους γρήγορων συνιστωσών, όπως αυτές αναγνωρίζονται από τα CSP ανύσματα βάσης και τα ιδιοδιανύσματα.