Modeling, reachability and observability of linear multivariable discrete time systems

Abstract

The aim of this doctoral dissertation is the study of linear discrete time systems of algebraic and difference equations. We study the problem of modeling the homogeneous system over a finite time horizon, and the properties of reachability and observability over an infinite time horizon. In detail, the problem of modeling concerns the construction of a homogeneous system that has a desired prescribed behavior. In the case of a finite time horizon, this system is studied over a closed interval and its solutions can either be forward propagating in time (starting from some initial values) or backward propagating in time (starting from some final values). It is shown that the modeling problem is connected to the problem of constructing a polynomial matrix with specific algebraic structure and two methods are given for constructing a system having a desired solution space. Reachability is a fundamental property of dynamical systems and refers to the existence of an appropriate input that can drive the system from the origin to another desired state, over a finite time. The reachable subspace of the system is described and a method is provided for constructing a consistent input that can drive the system from the origin to any desired state in the reachable subspace. Criteria for the reachability of the system are also given. Observability is another fundamental property of dynamical systems and refers to the determination of the initial value of the system's state, by knowledge of its input and output values over a finite time interval. By transforming the original system into a first order descriptor system, we derive observability criteria for the original system and the corresponding first order descriptor system.

Αντικείμενο της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η μελέτη γραμμικών συστημάτων εξισώσεων διαφορών και αλγεβρικών εξισώσεων διακριτού χρόνου. Πάνω σε αυτά τα συστήματα, μελετούμε το πρόβλημα της μοντελοποίησης του ομογενούς συστήματος σε πεπερασμένο χρονικό ορίζοντα, και των ιδιοτήτων της εφικτότητας και της παρατηρησιμότητας του μη ομογενούς συστήματος σε άπειρο χρονικό ορίζοντα. Πιο αναλυτικά, το πρόβλημα της μοντελοποίησης μελετά τη δυνατότητα κατασκευής ενός συστήματος το οποίο να έχει μια επιθυμητή δοσμένη συμπεριφορά. Στην περίπτωση του πεπερασμένου χρονικού ορίζοντα, το σύστημα μελετάται σε ένα κλειστό διάστημα και οι λύσεις του μπορεί να είναι είτε προς τα εμπρός κινούμενες στο χρόνο (ξεκινώντας από κάποιες αρχικές συνθήκες) είτε προς τα πίσω κινούμενες (ξεκινώντας από κάποιες τελικές συνθήκες). Δείχνεται ότι το πρόβλημα της μοντελοποίησης συνδέεται με το πρόβλημα της κατασκευής ενός πολυωνυμικού πίνακα με συγκεκριμένη αλγεβρική δομή και δίνονται δύο μέθοδοι κατασκευής ενός συστήματος το οποίο να έχει έναν δοσμένο χώρο λύσεων. Η εφικτότητα είναι θεμελιώδης ιδιότητα των δυναμικών συστημάτων και αναφέρεται στην ύπαρξη κατάλληλης εισόδου η οποία να οδηγεί το σύστημα από την ηρεμία, σε μια επιθυμητή τελική κατάσταση, σε πεπερασμένο χρόνο. Περιγράφεται ο υποχώρος εφικτότητας του συστήματος και δίνεται μια μέθοδος κατασκευής μιας παραδεκτής εισόδου που οδηγεί το σύστημα από την ηρεμία στην επιθυμητή εφικτή κατάσταση. Εξάγονται έτσι κριτήρια για τον έλεγχο της εφικτότητας του συστήματος. Η παρατηρησιμότητα αποτελεί επίσης θεμελιώδη ιδιότητα των δυναμικών συστημάτων και αναφέρεται στη δυνατότητα προσδιορισμού του διανύσματος αρχικών τιμών του συστήματος, έχοντας γνώση της εισόδου και της εξόδου του συστήματος σε ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα. Μετασχηματίζοντας το αρχικό σύστημα σε ένα ιδιόμορφο σύστημα πρώτης τάξης, εξάγονται κριτήρια για την παρατηρησιμότητα του αρχικού συστήματος και του αντίστοιχου ιδιόμορφου συστήματος πρώτης τάξης.