Duality and integrability in superstring and gauge field theory

Abstract

In the present thesis, we explore certain aspects of superstring and supersymmetric gauge eld theory, independently as well as in the context of the holographic duality. The rst part of the thesis is devoted to classical integrability and, in particular, to certain methods of analytic non-integrability, which are employed on various supergravity vacua. In Chapter 1, we introduce those tools of non-integrability, which consist of choosing an appropriate string embedding and using dierential Galois theory on the associated Hamiltonian system. The arena of all this, for the rst chapter, is two classes of vacua in massive Type IIA supergravity, all of which are proven to be non-integrable, up to the trivial cases where the vacuum reduces to the Abelian and non-Abelian T-dual of known integrable backgrounds. Dierential Galois theory, in this context, reduces to an algebraic form through Kovacic’s theorem, the proper use of which, on parametrized dierential equations, is claried in this application. In Chapter 2, we study integrability on the supergravity vacuum dual to the eld-theoretical Ω-deformation of super Yang-Mills theory. The deformation manifests itself as turning on a Kalb-Ramond eld on the dual supergravity vacuum and, by constructing appropriate string embeddings, we show that this space exhibits non-integrable dynamics. This, in turn, suggests that the Ω-deformation does not preserve classical integrability. In Chapter 3, we explore integrability on vacua in massive Type IIA supergravity, dual to six-dimensional superconformal quiver eld theories. Analytic non-integrability illustrates that all vacua with a warped geometry, between Anti-de-Sitter space and the internal manifold, exhibit complete non-integrability, while in the special case of the unwarped space we prove the opposite to be true. In particular, we show that, besides the integrable dynamics on the symmetric Anti-de-Sitter subspace of the unwarped geometry, the σ-model on the internal manifold is an integrable deformation of the same model on the symmetric three-sphere, ultimately implying classical integrability of bosonic string theory on this special vacuum. The second part of the thesis is devoted to holography and, in particular, the AdS/CFT duality, which we exploit to study features of certain supersymmetric quantum eld theories in two spacetime dimensions. More precisely, in Chapter 4, the nal chapter, we study the duality between massive Type IIA supergravity vacua and two-dimensional quiver structures. After categorizing all kinds of gravity solutions, we demystify the ones that seem to reect anomalous gauge theories. In particular, we prove that there are bound states of D-branes on the boundary of the space which provide the dual quiver theory with exactly the correct amount of matter in order to cancel its gauge anomalies. We also propose that the structure of the eld theory should be complemented with additional bifundamental matter and, nally, we construct a BPS string conguration and use the old and new supersymmetric matter to build its dual ultraviolet operator.

Στην παρούσα διατριβή, εξερευνούμε ορισμένες πτυχές της θεωρίας υπερχορδών και της υπερσυμμετρικής θεωρίας πεδίου βαθμίδας, ανεξάρτητα καθώς και στο πλαίσιο της ολογραφικής δυϊκότητας. Το πρώτο μέρος της διατριβής είναι αφιερωμένο στην κλασική ολοκλήρωσιμότητα και, ειδικότερα, σε ορισμένες μεθόδους αναλυτικής μη-ολοκλήρωσιμότητας, οι οποίες χρησιμοποιούνται σε διάφορες λύσεις της υπερβαρύτητας. Στο Κεφάλαιο 1, εισάγουμε εκείνα τα εργαλεία μη-ολοκλήρωσιμότητας, τα οποία συνίστανται στην επιλογή μιας κατάλληλης εμβάπτισης της χορδής και στη χρήση της διαφορικής θεωρίας Galois στο σχετικό σύστημα Hamilton. Το πεδίο εφαρμογής όλων αυτών, για το πρώτο κεφάλαιο, είναι δύο κατηγορίες λύσεων στη μαζική υπερβαρύτητα τύπου ΙΙΑ, οι οποίες αποδεικνύονται μη-ολοκληρώσιμες, έως και τις τετριμμένες περιπτώσεις όπου η λύση ανάγεται σε Αβελιανή και μη-Αβελιανή Τ-δυϊκή λύση γνωστών ολοκληρώσιμων υποβάθρων. Σε αυτό το πλαίσιο, η διαφορική θεωρία Galois παίρνει αλγεβρική μορφή μέσω του θεωρήματος του Kovacic, η σωστή χρήση του οποίου, για παραμετροποιημένες διαφορικές εξισώσεις, διευκρινίζεται στις παραπάνω εφαρμογές.Στο Κεφάλαιο 2, μελετάμε την ολοκληρωσιμότητα για μια λύση υπερβαρύτητας η οποία είναι Τ-δυϊκή της πεδιακής Ω-παραμόρφωσης της υπερσυμμετρικής Yang-Mills θεωρίας. Η παραμόρφωση εκδηλώνεται ως ενεργοποίηση ενός πεδίου Kalb-Ramond στη λύση της δυϊκής υπερβαρύτητας και, κατασκευάζοντας κατάλληλες εμβαπτίσεις χορδών, δείχνουμε ότι ο χώρος αυτός εμφανίζει μη-ολοκληρώσιμη δυναμική. Αυτό, με τη σειρά του, υποδηλώνει ότι η Ω-παραμόρφωση δεν διατηρεί την κλασική ολοκλήρωσιμότητα. Στο Κεφάλαιο 3, διερευνούμε την ολοκλήρωσιμότητα σε λύσεις στη μαζική υπερβαρύτητα τύπου IIA, δυϊκές σε εξαδιάστατες υπερσύμμορφες quiver θεωρίες πεδίου. Η αναλυτική μη-ολοκλήρωσιμότητα δείχνει ότι όλες οι λύσεις με πεπλεγμένη γεωμετρία, μεταξύ του χώρου Anti-de-Sitter και της εσωτερικής πολλαπλότητας, παρουσιάζουν πλήρη μη-ολοκλήρωσιμότητα, ενώ το αντίθετο αποδεικνύεται στην ειδική περίπτωση του μη-πεπλεγμένου χώρου. Συγκεκριμένα, δείχνουμε ότι, εκτός από την ολοκλήρωσιμότητα στον συμμετρικό υποχώρο Anti-de-Sitter της μη-πεπλεγμένης γεωμετρίας, το σ-μοντέλο στην εσωτερική πολλαπλότητα είναι μια ολοκληρώσιμη παραμόρφωση του ίδιου μοντέλου στη συμμετρική τρία-σφαίρα, που τελικά συνεπάγεται κλασική ολοκλήρωσιμότητα της μποζονικής θεωρίας χορδών για αυτή την ειδική λύση. Το δεύτερο μέρος της διατριβής είναι αφιερωμένο στην ολογραφία και, ειδικότερα, στη δυϊκότητα AdS/CFT, την οποία εκμεταλλευόμαστε για να μελετήσουμε χαρακτηριστικά ορισμένων υπερσυμμετρικών κβαντικών θεωριών πεδίου σε δύο χωροχρονικές διαστάσεις. Πιο συγκεκριμένα, στο Κεφάλαιο 4, το τελευταίο κεφάλαιο, μελετάμε τη δυϊκότητα μεταξύ λύσεων της υπερβαρύτητας τύπου IIA και δισδιάστατων δομών quiver. Αφού κατηγοριοποιήσουμε όλα τα είδη λύσεων βαρύτητας, απομυθοποιούμε αυτές που φαίνεται να αντανακλούν ανώμαλες θεωρίες βαθμίδας. Συγκεκριμένα, αποδεικνύουμε ότι υπάρχουν δέσμιες καταστάσεις D-βρανών στο όριο του χώρου, οι οποίες παρέχουν στη δυϊκή θεωρία quiver ακριβώς τη σωστή ποσότητα ύλης προκειμένου να ακυρωθούν οι ανωμαλίες βαθμίδας. Προτείνουμε επίσης ότι η δομή αυτής της θεωρίας πεδίου θα πρέπει να συμπληρωθεί με πρόσθετη ύλη στη δι-θεμελιώδη αναπαράσταση, ενώ, τέλος, κατασκευάζουμε μια BPS εμβάπτιση χορδής και χρησιμοποιούμε την παλιά και τη νέα υπερσυμμετρική ύλη για να χτίσουμε τον δυϊκό υπεριώδη τελεστή της.