Advanced surrogate modeling and machine learning methods in computational stochastic mechanics

Abstract

Parameter uncertainty quantification and methods to predict uncertainty propagation on the response of structural systems have become an essential part of the analysis and design of engineering applications. Over the past decades, the stochastic finite element method (SFEM) has been developed for the study of systems with inherent uncertainties in their parameters (i.e. material parameters), boundary conditions, geometry and loading conditions. The most eminent and widely applied method in the field of SFEM is the Monte Carlo simulation. In practice, this is the only method capable of handling stochastic problems with nonlinearities, dynamic loads, stability problems etc. However, in order to achieve high levels of accuracy, it requires a large number of repeated model evaluations for various realizations of the parameters. As a consequence, the computational cost associated with this method becomes unaffordable in detailed large-scale finite element models or nonlinear dynamic problems, where each model run takes minutes or hours to complete. Based on this conclusion, this thesis presents a series of methodologies based on surrogate modeling and machine learning techniques that have been implemented in order to bypass the computational demands of the direct Monte Carlo simulation. The first part of the dissertation focuses on the probability density evolution method and proposes appropriate formulations for its application in static and nonlinear problems. Also, a more accurate and efficient finite element scheme is proposed based on the Streamline Upwind/Petrov Galerkin method for the solution of the partial differential equations arising in the application of the method. In the continuation of the thesis, the mathematical and computational framework is developed for the application of the Spectral Stochastic Finite Element method in stochastic problems of framed structures that exhibit geometric nonlinearity. Lastly, a novel surrogate modeling methodology is proposed based on the Diffusion Maps manifold learning algorithm. With the proposed methodology, the detailed finite element model is substituted with simpler mathematical functions that are cheap to evaluate, thus, leading to a significant cost reduction for the Monte Carlo simulation without compromising the accuracy.

Η ποσοτικοποίηση της αβεβαιότητας στις παραμέτρους ενός μηχανικού συστήματος και οι μέθοδοι για τον προσδιορισμό της επιρροής της στην απόκριση αυτού αποτελούν ένα ουσιώδες κομμάτι της ανάλυσης και του σχεδιασμού των κατασκευών. Τις τελευταίες δεκαετίες αναπτύχθηκε η μέθοδος των στοχαστικών πεπερασμένων στοιχείων (ΣΠΣ), η οποία έχει ως στόχο τη μελέτη συστημάτων στα οποία ενυπάρχουν αβεβαιότητες στις παραμέτρους του συστήματος (πχ. ιδιότητες υλικών), στις συνοριακές συνθήκες, στη γεωμετρία και στη φόρτιση. Η κυριότερη και πιο διαδεδομένη μέθοδος στην κατηγορία των ΣΠΣ είναι η μέθοδος προσομοίωσης Monte Carlo. Στην πραγματικότητα, η μέθοδος αυτή είναι η μόνη ικανή να χειριστεί στοχαστικά προβλήματα στα οποία εμπλέκονται μη-γραμμικότητες, δυναμικές φορτίσεις, προβλήματα ευστάθειας, κλπ. Ωστόσο, για να επιτύχει υψηλή ακρίβεια απαιτεί ένα μεγάλο αριθμό τυχαίων προσομοιώσεων του υπολογιστικού μοντέλου για διάφορες τιμές των παραμέτρων. Ως συνέπεια, το υπολογιστικό κόστος αυτής της προσέγγισης καθίσταται ασύμφορο σε λεπτομερή μοντέλα με πολλούς βαθμούς ελευθερίας ή/και σε μη-γραμμικά δυναμικά προβλήματα, όπου η διάρκεια της μιας ανάλυσης κυμαίνεται από μερικά λεπτά έως μερικές ώρες. Με βάση αυτό το συμπέρασμα, η παρούσα ερευνητική προσπάθεια επικεντρώνεται στην εφαρμογή τεχνικών υποκατάστατης μοντελοποίησης και τεχνικών μηχανικής μάθησης με στόχο να παρακαμφθεί ο υπολογιστικός φόρτος της μεθόδου Monte Carlo. Στο πρώτο στάδιο της διατριβής, μελετάται η μέθοδος της εξέλιξης της πυκνότητας πιθανότητας ως μια εναλλακτική της Monte Carlo και προτείνονται κατάλληλες διατυπώσεις για την εφαρμογή της σε στατικά προβλήματα και σε μη-γραμμικά προβλήματα. Παράλληλα, προτείνεται ένα ακριβέστερο και αποδοτικότερο σχήμα πεπερασμένων στοιχείων βασισμένο στη μέθοδο Streamline Upwind/Petrov Galerkin για την επίλυση των μερικών διαφορικών εξισώσεων που προκύπτουν στα πλαίσια της μεθόδου. Εν συνεχεία, αναπτύσσεται το μαθηματικό και υπολογιστικό πλαίσιο για την εφαρμογή της μεθόδου των Φασματικών Στοχαστικών Πεπερασμένων στοιχείων σε στοχαστικά προβλήματα ραβδωτών φορέων με μη-γραμμικότητα γεωμετρίας. Τέλος, προτείνεται μια νέα μεθοδολογία κατασκευής υποκατάστατων μοντέλων βασισμένη στον αλγόριθμο των Χαρτών διάχυσης, ο οποίος ανήκει στην κατηγορία των μεθόδων μάθησης σε πολλαπλότητες. Με την προτεινόμενη μεθοδολογία το πλήρες προσομοίωμα των πεπερασμένων στοιχείων αντικαθίσταται από απλούστερες μαθηματικές σχέσεις με ελάχιστο κόστος υπολογισμού, επιτυγχάνοντας έτσι σημαντική μείωση του κόστους της μεθόδου Monte Carlo χωρίς ουσιαστικές απώλειες σε ακρίβεια.