Η σχέση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης με την τελικά περιοδική ανθυφαίρεση στα αρχαία ελληνικά μαθηματικά

Abstract

Following arguments developed by S. Negrepontis that the method employed by Theodorus, in his lesson to Theaetetus, to prove the incommensurabilities reported in the Platonic dialogue Theaetetus 147d-148b, was anthyphairetic, a proof is reconstructed using only tools available to the Pythagoreans, namely the calculus of Gnomons in Book II of Euclid’s Elements.Following arguments developed by S. Negrepontis that the result proved by Theaetetus, following the lesson by Theodorus, as reported in the same passage, was the palindromic periodicity of all quadratic irrationals, using the methods of Book X of the Elements, and in particular the concepts of an ‘apotome’ line, a line of two names, and their conjugacy (Propositions X.112-114 of the Elements), a proof is given of the characterization of purely periodic anthyphaireses. An outline of this Proposition was given by Zeeman and Fowler, in one direction; the proof given in the thesis uses tools only from Book X. of the Elements.

Ακολουθώντας την επιχειρηματολογία του Σ. Νεγρεπόντη κατά την οποία η μέθοδος που εφάρμοσε ο Θεόδωρος στο μάθημα του στον Θεαίτητο 147δ-148β, ώστε να αποδείξει τις ασυμμετρίες που αναφέρονται στον Πλατωνικό διάλογο, Θεαίτητος 147δ- 148β ήταν ανθυφαιρετική, ανακατασκευάζεται απόδειξη με την χρήση εξολοκλήρου μέσων που διέθεταν οι Πυθαγόρειοι, συγκεκριμένα τον λογισμό των Γνωμόνων στο Βιβλίο ΙΙ των Στοιχείων του Ευκλείδη.Ακολουθώντας την επιχειρηματολογία του Σ. Νεγρεπόντη ότι το αποτέλεσμα που απέδειξε ο Θεαίτητος, συνέπεια του μαθήματος του Θεόδωρου, όπως αναφέρεται στο ίδιο απόσπασμα, ήταν ή παλινδρομική περιοδικότητα όλων των τετραγωνικών άρρητων, χρησιμοποιώντας τις μεθόδους του Βιβλίου Χ των Στοιχείων, και ιδιαίτερα τις έννοιες της αποτομής, της γραμμής των δύο ονομάτων, και της συζυγίας τους (Προτάσεις X.112-114 των Στοιχείων), προκύπτει απόδειξη χαρακτηριζόμενη ως απόλυτα περιοδική ανθυφαίρεση. Οι Zeeman και Fowler προέβησαν σε μια γενική περιγραφή της εν λόγω Πρότασης , προς μία κατεύθυνση :η απόδειξη που παρουσιάζεται στη διατριβή βασίζεται εξ ολοκλήρου σε χρήση μέσων από το Βιβλίο Χ των Στοιχείων.