Continuous adjoint methods for steady and unsteady turbulent flows with emphasis on the accuracy of sensitivity derivatives

Abstract

The present thesis deals with the mathematical formulations, programming and validation of continuous adjoint methods to steady and unsteady turbulent flows with emphasis on the accuracy of the computed sensitivity derivatives for objective functions related to aerodynamics. Applications include shape and flow-control optimization problems in internal and external flows of both academic and industrial origin. Regarding the differentiation of turbulence models, the continuous adjoint method is extended to cover flows governed by the k−ω SST model, for the first time in the relevant literature. The analytical differentiation of the k−ω SST model presents significant difficulties as it includes non-differentiable functions, whose appropriate treatment is presented. The adjoint turbulence model is formulated for both the Low- and the High-Re (using wall functions) variants of the model. Also, the implications of neglecting the differentiation of the turbulence model are investigated. Two distinct adjoint formulations are presented for this turbulence model, namely the surface integrals (SI) and the field integrals (FI) one. Both formulations are associated with the same adjoint field equations and boundary conditions, though with different expressions for the sensitivity derivatives. In SI, only surface integrals are present, whereas, in FI, these are expressed in terms of both surface and field integrals. Between the two adjoint formulations, SI and FI, numerical discrepancies are observed in the computed sensitivity derivatives which become highly pronounced in non-adequately stretched grids. To identify their origin, the two formulations are compared, both analytically and numerically. As expected, they are mathematically equivalent, but the erroneous handling of a term present in the SI formulation, one including the contribution of the grid sensitivities to the sensitivity derivatives is the reason for the computed differences in the sensitivity derivatives. To cope with this problem, a different handling of this term is proposed. This is capable of computing correct sensitivity derivatives (in agreement with those computed through the FI formulation) but its computational cost becomes as high as the latter. This should be avoided, in particular when dealing with industrial applications, and a new adjoint approach is proposed. This is referred to as the Enhanced-SI (E-SI) adjoint formulation and is able to compute accurate sensitivities with the same computational cost as the SI one. In addition, the adjoint formulation is extended to flows with rotor-stator interaction, using the Multiple-Reference-Frame (MRF) model, commonly referred to as the "frozen rotor" assumption. This adjoint formulation is presented for laminar flows, since its extension to turbulent ones is straightforward for any (already differentiated) turbulence model. Using the efficiency of a turbomachinery stage as the objective function, the proposed adjoint is used to optimize a 2D centrifugal pump with a vaned diffuser. To accelerate and stabilize the numerical solution of the primal and adjoint equations, the Recursive Projection Method (RPM) is developed inside the OpenFoam© environment. Emphasis is laid on the stabilizing capabilities of the method when used together with the continuous adjoint solver, especially in flows where a small-scale flow unsteadiness is encountered, leading to divergence in the numerical solution of the adjoint equations. By identifying and appropriately handling the dominant eigenvalues of the diverging simulation, RPM is able to stabilize the numerical solution. Potential difficulties encountered when using the RPM are discussed. Using the methods developed above, sensitivity maps are computed over car geometries provided by the automotive industry. In specific, the geometries of the VW L1 concept car and the Audi A7 passenger car are considered. The computed sensitivity maps show to the designer which areas of each car has high optimization potential and how it should be optimized to reduce the exerted drag. A sensitivity map may aid the design of a car even without incorporating it into the optimization loop. To tackle optimization problems with unsteady flow phenomena, such as vortex generation, the adjoint to the unsteady Navier–Stokes is formulated, for both shape and flow-control optimization problems. The commonly used checkpointing technique is used to overcome the reversed temporal integration encountered in the unsteady adjoint equations. For flow-control applications, the control of the flow around cylindrical geometries using pulsating jets is considered. For shape optimization problems, the centrifugal pump optimized under the ‘‘frozen rotor’’ assumption is re-visited. Using the unsteady flow and adjoint solvers, the flow analysis and the gradient computation are performed without making any relevant assumptions.

Η παρούσα διδακτορική διατριβή ασχολείται με τη μαθηματική ανάπτυξη, τον προγραμματισμό και την πιστοποίηση των συνεχών συζυγών (continuous adjoint) μεθόδων για χρονικά μόνιμες και μή-μόνιμες τυρβώδεις ροές με έμφαση στην ακρίβεια των υπολογιζομένων παραγώγων ευαισθησίας για συναρτήσεις-στόχους που συναντώνται στην αεροδυναμική. Εξετάζονται προβλήματα βελτιστοποίησης μορφής καθώς και ελέγχου της ροής με χρήση δεσμών ρευστού, τόσο σε ακαδημαϊκά προβλήματα όσο και σε εφαρμογές της βιομηχανίας. Σχετικά με τη διαφόριση των μοντέλων τύρβης, η συνεχής συζυγής μέθοδος επεκτείνεται για να καλύπτει ροές που μοντελοποιούνται με το μοντέλο k−ω SST για πρώτη ϕορά στη σχετική βιβλιογραφία. Η αναλυτική διαφόριση του μοντέλου k−ω SST παρουσιάζει σημαντικές δυσκολίες καθώς περιέχει μη-διαφορίσιμες συναρτήσεις και προτείνεται η κατάλληλη αντιμετώπισή τους. Το συζυγές πρόβλημα διατυπώνεται τόσο για τη χαμηλών (LowRe) όσο και την υψηλών αριθμών (HighRe) (συναρτήσεις τοίχου) Reynolds της τύρβης εκδοχή του μοντέλου k−ω SST . Ταυτοχρόνως, εξετάζονται οι επιπτώσεις του να αμελείται η παραγώγιση του μοντέλου τύρβης κατά την ανάπτυξη της συζυγούς μεθόδου (frozen turbulence assumption). Η συζυγής μέθοδος αναπτύσσεται δύο φορές, στη βάση δύο διαφορετικών μαθηματικών προσεγγίσεων. Και με τις δύο παράγονται οι ίδιες συζυγείς εξισώσεις και οριακές συνθήκες. Διαφορές εντοπίζονται στον τύπο υπολογισμού των παραγώγων ευαισθησίας. Σύμφωνα με την πρώτη, τη μέθοδο των Επιφανειακών Ολοκληρωμάτων (Surface Integral -SI- adjoint formulation), αυτές εκφράζονται αποκλειστικά με επιφανειακά ολοκληρώματα. Αντίθετα, στη δεύτερη, τη μέθοδο των Χωρικών Ολοκληρωμάτων (Field Integral -FI- adjoint formulation), οι παράγωγοι εκφράζονται με συνδυασμό ολοκληρωμάτων τόσο στην επιφάνεια όσο και στο χώρο του υπολογιστικού χωρίου. Ανάμεσα στις δύο συζυγείς διατυπώσεις, τις SI και FI, παρατηρούνται αριθμητικές διαφορές στις υπολογιζόμενες παραγώγους οι οποίες και γίνονται ιδιαίτερα εμφανείς σε μη-επαρκώς πυκνά πλέγματα. Για αυτόν τον λόγο, επανεξετάζεται η ισοδυναμία τους, τόσο αναλυτικά όσο και αριθμητικά. Όπως αναμένονταν, αναλυτικά οι δύο προσεγγίσεις προκύπτουν ισοδύναμες. Η αριθμητική διαφορά τους οφείλεται στον λανθασμένο χειρισμό ενός όρου της SI διατύπωσης ο οποίος εκφράζει τη συμβολή των παραγώγων ευαισθησίας πλέγματος (grid sensitivities) στις παραγώγους της συνάρτησης-στόχου. Για την αντιμετώπισή του, προτείνεται ένας διαφορετικός χειρισμός του όρου αυτού, με τον οποίο είναι δυνατός ο σωστός υπολογισμός παραγώγων (σε συμφωνία με αυτές που υπολογίζονται από την FI διατύπωση), αυξάνοντας όμως αρκετά το υπολογιστικό κόστος, το οποίο γίνεται ίσο με αυτό της FI διατύπωσης. Καθώς αυτό δεν είναι επιθυμητό, ιδιαίτερα σε μεγάλες βιομηχανικές εφαρμογές, προτείνεται μία νέα συζυγής διατύπωση, η Εμπλουτισμένη διατύπωση των Επιφανειακών Ολοκληρωμάτων (Enhanced Surface Integral -E-SI- adjoint formulation), η οποία έχει την ακρίβεια της FI διατύπωσης αλλά το υπολογιστικό κόστος της SI. Ακόμα, η συζυγής διατύπωση επεκτείνεται για ροές σε βαθμίδες στροβιλομηχανών, λαμβάνοντας υπόψη την αλληλεπίδραση κινητής και σταθερής πτερύγωσης. Χρησιμοποιείται το μοντέλο Πολλαπλών Συστημάτων Αναφοράς (Multiple Reference Frame) με την παραδοχή του ≪παγωμένου δρομέα≫. Η συζυγής διατύπωση παρουσιάζεται για στρωτές ροές καθώς η γενίκευσή της σε τυρβώδεις ροές δεν παρουσιάζει καμία δυσκολία, εάν υπάρχει διαθέσιμο το εν χρήση συζυγές μοντέλο τύρβης. Στοχεύοντας μέγιστο βαθμό απόδοσης, η προτεινόμενη συζυγής διατύπωση εφαρμόζεται στη βελτιστοποίηση φυγοκεντρικής αντλίας. Για την επιτάχυνση και σταθεροποίηση της αριθμητικής λύσης των εξισώσεων ροής καθώς και των συζυγών αυτών, αναπτύσσεται η Μέθοδος των Αναδρομικών Προβολών (Recursive Projection Method, RPM) σε περιβάλλον OpenFoam©. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στη χρήση της μεθόδου για τη σταθεροποίηση της επίλυσης του συζυγούς προβλήματος σε ροές που παρουσιάζουν μικρής κλίμακας χρονικές μεταβολές (οι οποίες συνήθως οδηγούν σε απόκλιση του συζυγούς προβλήματος). Μέσω της αναγνώρισης και της κατάλληλης αντιμετώπισης της κυρίαρχης ιδιοτιμής του συστήματος προς επίλυση, εξασφαλίζεται η σύγκλιση. Χρησιμοποιώντας τις μεθόδους που παρουσιάστηκαν παραπάνω, χαράζονται χάρτες ευαισθησίας σε γεωμετρίες πραγματικών αυτοκινήτων. Συγκεκριμένα, εξετάζονται το πρωτότυπο αυτοκίνητο L1 της VW και το επιβατικό μοντέλο A7 της AUDI. Σε αυτά, οι χάρτες ευαισθησίας που χαράζονται δείχνουν στον σχεδιαστή ποιες περιοχές κάθε γεωμετρίας έχουν δυνατότητες βελτίωσης και πως πρέπει να διαμορφωθούν για τη μείωση της οπισθέλκουσας. Η πληροφορία αυτή βοηθά στην αεροδυναμική βελτιστοποίηση της μορφής του αυτοκινήτου, χωρίς όμως να υλοποιεί αναγκαστικά βρόχο βελτιστοποίησης. Επιπλέον, αναπτύσσεται η συζυγής μέθοδος για τις χρονικά μη-μόνιμες Navier–Stokes εξισώσεις, για προβλήματα βελτιστοποίησης μορφής καθώς και ελέγχου ροής με χρήση δεσμών ρευστού. Χρησιμοποιείται η μέθοδος των σταθμών ελέγχου (checkpoints) για την αντιμετώπιση της αντίθετης-στον-χρόνο ολοκλήρωσης των χρονικά μη-μόνιμων συζυγών εξισώσεων. Ως προς τον έλεγχο της ροής, εξετάζονται ροές γύρω από κυλινδρικές γεωμετρίες οι οποίες ελέγχονται μέσω παλλόμενων δεσμών ρευστού. Σχετικά με τη βελτιστοποίηση μορφής, η ϕυγοκεντρική αντλία, η οποία ήδη εξετάστηκε υπό την παραδοχή του ≪παγωμένου δρομέα≫, επανεξετάζεται χρησιμοποιώντας χρονικά μη-μόνιμους επιλύτες ροής και συζυγούς προβλήματος.