Unsteady discrete adjoint method formulated in the time - domain for shape optimization in turbomachinery

Abstract

This PhD thesis deals with the mathematical formulation, solution, programming and validation of the unsteady discrete adjoint method, formulated in the time-domain, for the computation of first-order sensitivity derivatives for objective functions related to the aerodynamics of turbomachinery and their utilization in optimization algorithms. The cases that are tackled involve the constrained optimization of industrial, 3D, multi-row, turbomachinery configurations with transient and periodic flows. The unsteady adjoint equations are formulated for an objective function in the form of a time-integral over a selected time-interval. The dual time-stepping technique is used to solve the unsteady adjoint equations along with an iterative scheme, which is the adjoint to the 5-stage Runge-Kutta scheme used for the flow equations and which is derived "by-hand". The scheme is formulated so as to ensure same convergence rate as the Unsteady Reynolds-Averaged Navier-Stokes (URANS) solver. Algorithmic Differentiation (AD) is employed in the adjoint solver for the computation of selected differential terms. Its usage is restricted to low level operations and combined with hand-differentiation to ensure efficiency. To enable communication between adjacent row-domains in the adjoint solver, the adjoint sliding interface is developed to replace the mixing interface technique used in steady state solvers. Its baseline is the sliding interface of the flow solver where grids of adjacent rows are generated so that there is a one-cell overlap. AD along with hand programming ensure that the implementation is consistent with the reverse flow of information in the adjoint solver. The solver utilizes the SSD disk space instead of RAM to store and read-in, in a parallel manner, the per-time-step flow fields during the adjoint execution. Thus, RAM bottlenecks are avoided while run time is not significantly increased. The temporal coarsening technique is employed in the adjoint solver to decrease the run time and the required storage space when this exceeds the available storage capacity. Adjoint-based derivatives are computed and used within the optimization workflow. If equality constraints are considered, the component of the objective function's gradient which is normal to the constraints' gradients is used along with the projected gradient descent method to update the design variables and, thus, the geometry. In unconstrained optimization problems, steepest descent is used. The developed software is applied to the shape optimization of 3D, multi-row, turbomachinery cases for the first time in the literature. The application cases include one single row turbine case (transient operation), one stage turbine case (periodic flow study) and one 3-row compressor case (periodic flow study). The computed derivatives are validated against the derivatives computed via finite differences and, then, used in optimization setups with and without equality constraints. The PhD was carried out within the AboutFlow ITN, which received funding from the European Union’s Seventh Framework Programme for research, technological development and demonstration under Grant Agreement No. 317006.

Η διδακτορική διατριβή πραγματεύεται τη μαθηματική διατύπωση, επίλυση, προγραμματισμό και πιστοποίηση της μη-μόνιμης διακριτής συζυγούς μεθόδου με διατύπωση στο πεδίο του χρόνου για τον υπολογισμό πρώτης τάξης παραγώγων αντικειμενικών συναρτήσεων ως προς τις μεταβλητές σχεδιασμού σε προβλήματα αεροδυναμικής και τη χρήση τους σε αλγορίθμους βελτιστοποίησης. Η μέθοδος εφαρμόζεται για την υπο περιορισμούς βελτιστοποίηση σχήματος τριδιάστατων, πολυβάθμιων διατάξεων στροβιλομηχανών σε μεταβατικές και περιοδικές ροές.Οι μη-μόνιμες συζυγείς εξισώσεις διατυπώνονται για αντικειμενική συνάρτηση που έχει τη μορφή ολοκληρώματος σε επιλεγμένο χρονικό διάστημα. Για την επίλυση των μη-μόνιμων εξισώσεων χρησιμοποιείται η τεχνική του διπλού χρονικού βήματος καθώς και ένα επαναληπτικό σχήμα, το οποίο είναι συζυγές της μεθόδου Runge-Kutta 5 βηµάτων, η οποία επιστρατεύεται για τη σύγκλιση των εξισώσεων ροής, και προκύπτει από διαφόριση "με το χέρι". Το σχήμα διατυπώνεται έτσι ώστε να διασφαλίσει σύγκλιση ίδιου ρυθμού με αυτόν του μη-μόνιμου Reynolds-Averaged Navier-Stokes επιλύτη.Για τον υπολογισμό επιλεγμένων διαφορικών όρων των συζυγών εξισώσεων χρησιμοποιείται η τεχνική της Αυτόματης Διαφόρισης (ΑΔ). Η χρήση της περιορίζεται σε προγραμματιστικές διαδικασίες "χαμηλού επιπέδου" και συνδυάζεται με τη διαφόριση "με το χέρι" με στόχο την υψηλή απόδοση του συζυγούς επιλύτη.Για τη σύζευξη διαδοχικών πτερυγώσεων χρησιμοποιείται η μέθοδος της διεπιφάνειας ολίσθησης στον συζυγή επιλύτη, αντικαθιστώντας τη μέθοδο της διεπιφάνειας ανάμιξης που εμφανίζεται στους μόνιμους υπολογισμούς. Ως αφετηρία λαμβάνεται η εφαρμογή της τεχνικής στο μη-μόνιμο επιλύτη ροής όπου τα πλέγματα διαδοχικών πτερυγώσεων έχουν επικάλυψη ενός κελιού μεταξύ τους. Για να διατηρηθεί η αντίστροφη ροή πληροφορίας στο συζυγή επιλύτη, η ΑΔ συνδυάζεται με προγραμματισμό "με το χέρι" για την υλοποίηση της μεθόδου.Ο επιλύτης χρησιμοποιεί χώρο σε SSD δίσκους αντί της μνήμης RAM για την αποθήκευση και την ανάκτηση των πεδίων ροής ανά χρονικό βήμα κατά την εκτέλεσή του. Έτσι, αποφεύγονται οι περιορισμοί της κατ' αναλογία μικρής σε χωρητικότητα μνήμης RAM χωρίς σημαντική χρονική επιβάρυνση. Η επιπλέον μείωση του χρόνου εκτέλεσης και του απαιτούμενου αποθηκευτικού χώρου πραγματοποιείται με την εφαρμογή της μεθόδου χρονικής αραίωσης.Οι παράγωγοι υπολογίζονται με τη συζυγή μέθοδο με στόχο τη χρήση τους σε κύκλο βελτιστοποίησης. Στην περίπτωση ύπαρξης περιορισμών ισότητας, η συνιστώσα της παραγώγου της αντικειμενικής συνάρτησης ως προς τις παραγώγους των περιορισμών υπολογίζεται και χρησιμοποιείται με τη μέθοδο της καθόδου κατά την προβεβλημένη παράγωγο για την ανανέωση των μεταβλητών σχεδιασμού και, άρα, της γεωμετρίας. Αν δεν υπάρχουν περιορισμοί, χρησιμοποιείται η μέθοδος της απότομης καθόδου.Το αναπτυχθέν λογισμικό εφαρμόζεται για τη βελτιστοποίηση σχήματος πτερυγίων τριδιάστατων, πολυβάθμιων διατάξεων στροβιλομηχανών για πρώτη φορά στη βιβλιογραφία. Οι περιπτώσεις εφαρμογής περιλαμβάνουν μία σταθερή πτερύγωση στροβίλου (μεταβατική ροή), μια βαθμίθα στροβίλου (περιοδική ροή) και μια διάταξη συμπιεστή 1,5 βαθμίδας (περιοδική ροή). Οι υπολογιζόμενες παράγωγοι μέσω της συζυγούς μεθόδου πιστοποιούνται συγκρίνοντας τις με τις παραγώγους που προκύπτουν από τη χρήση πεπερασμένων διαφορών και, στη συνέχεια, χρησιμοποιούνται σε σενάρια βελτιστοποίησης με και χωρίς περιορισμούς.Η διδακτορική διατριβή εκπονήθηκε στο πλαίσιο του ITN AboutFlow το οποίο χρηματοδοτήθηκε από το Seventh Framework Programme της Ευρωπαϊκής Ένωσης με τη Συμφωνία Επιχορήγησης Νο. 317006.