Τορικά ιδεώδη και θεωρία γραφημάτων στη συνδυαστική μεταθετική άλγεβρα

Abstract

develop. In the second chapter we characterize in graph theoretical terms the primitive, the minimal, the indispensable and the fundamental binomials of the toric ideal I_G, which is the toric ideal of the corresponding graph G. With these results we generalize the already existed corresponding theory. In the last chapter we characterize in graph theoretical terms the elements of the universal Grobner basis of the toric ideal of a graph. We also provide a new degree bound, by improving the already existed degree bound, which had been given by De Loera, Sturmfels and Thomas. Finally, we give examples of graphs for which the true degrees of their circuits are less than the degrees of some elements of the Graver basis, answering to a conjecture of B.Sturmfels (1995), known as the True circuit conjecture.

Στο πρώτο κεφάλαιο εισάγουμε κάποιες βασικές έννοιες για τη θεωρία την οποία αναπτύσσουμε. Στο δεύτερο κεφάλαιο χαρακτηρίζουμε σε γραφοθεωρητικούς όρους, τα πρωταρχικά, τα ελαχιστοτικά, τα αναντικατάστατα και τα θεμελιώδη διώνυμα του τορικού ιδεώδους I_G, δηλαδή του τορικού ιδεώδους ενός γραφήματος G. Με αυτά τα αποτελέσματα, γενικεύουμε τα ήδη υπάρχοντα σε αυτή τη θεωρία. Στο τελευταίο κεφάλαιο, χαρακτηρίζουμε σε γραφοθεωρητικούς όρους, τη καθολική βάση Grobner ενός τορικού ιδεώδους γραφήματος G. Επίσης δίνουμε καλύτερα φράγματα βαθμών, των στοιχείων της βάσης αυτής, βελτιώνοντας τα ήδη υπάρχοντα τα οποία ήταν γνωστά από τους De Loera, Sturmfels και Thomas. Τέλος, δίνουμε μια οικογένεια παραδειγμάτων γραφημάτων, των οποίων οι αληθινοί βαθμοί των κυκλωμάτων τους είναι μικρότεροι από τους αντίστοιχους βαθμούς των στοιχείων της βάσης Graver, απαντώντας σε μια εικασία του Sturmfels (1995), γνωστή ως True circuit conjecture.