Απαρίθμηση προτύπων σε μονοπάτια Dyck και Grand-Dyck

Abstract

The Catalan numbers are considered to be the second most significant numbers in Combinatorics, after the binomial coefficients, because they appear frequently in various combinatorial problems. Professor R. Stanley maintains a record including more than 200 different combinatorial objects which are enumerated by the Catalan numbers, therefore are structurally equivalent. Perhaps, the most popular among these are Dyck paths (or words) and binary trees.Dyck paths are the main object studied in this dissertation. They have a very simple geometrical representation and for that reason they are suitable for studying properties which are then translated into properties of other objects in the Catalan family.Moreover, by introducing various restrictions (parameters), we obtain special categories of Dyck paths which are often equivalent to other known objects, so that any results are also extended to these objects.In this dissertation, we mainly study the parameter “number of occurrences of the string t”, where a string is considered to be any binary word. In the first chapter, the basic definitions and necessary mathematical tools are extensively presented.In the second chapter, we study the parameter “number of occurrences of t at height j”, that is we enumerate Dyck paths, with respect to their length and number of occurrences of t at height j. The result is expressed via the corresponding generating function for any binary word t.In the third chapter, we study the parameters “number of occurrences of t” and “number of occurrences of t at height at least j” in Dyck paths. We again obtain the results via the corresponding generating function for the cases where t is a Dyck prefix or a Dyck suffix and for some other general cases as well. In the fourth chapter, we study the parameter “number of occurrences of t” in Grand-Dyck paths, where t has length 3. In addition, by considering the auxiliary parameter “number of up-steps below zero level”, we obtain in some cases refinements of the Chung-Feller theorem. In the fifth chapter, three new parameters of Dyck paths, not related to strings, are studied and complete enumerative results are obtained. These parameters are defined by refining the well known parameter “number of peaks”. In the sixth chapter, exact as well as asymptotic formulas are presented, for the mean value and variance of the parameters studied in previous chapters.

Οι αριθμοί Catalan θεωρούνται ως οι πιο σημαντικοί αριθμοί της Συνδυαστικής, μετά τους διωνυμικούς συντελεστές, λόγω της εντυπωσιακά συχνής εμφάνισής τους σε διάφορα προβλήματα. Ενδεικτικά, ο R. Stanley διατηρεί αρχείο με περισσότερα από 200 διαφορετικά σύνολα συνδυαστικών αντικείμενων που απαριθμούνται από τους αριθμούς Catalan και άρα είναι πληθικά αλλά και δομικά ισοδύναμα. Τα πιο διαδεδομένα από αυτά είναι ίσως τα μονοπάτια (λέξεις) Dyck και τα δυαδικά δένδρα.Το κεντρικό αντικείμενο μελέτης της διατριβής αυτής είναι τα μονοπάτια Dyck, τα οποία αποτελούν απλά μια αναπαράσταση στο επίπεδο των λέξεων Dyck. Λόγω της απλής και εύληπτης γεωμετρικής τους αναπαράστασης, αποτελούν ένα αντιπροσωπευτικό αντικείμενο της οικογένειας των αντικειμένων Catalan και προσφέρονται για τη μελέτη ιδιοτήτων, οι οποίες μπορούν στη συνέχεια να μεταφραστούν κατάλληλα και σε ιδιότητες των υπόλοιπων αντικειμένων της οικογένειας.Επιπλέον, με την εισαγωγή κατάλληλων περιορισμών (παραμέτρων), προκύπτουν ειδικές κατηγορίες μονοπατιών Dyck που ισοδυναμούν με σύνολα άλλων γνωστών αντικειμένων, οπότε τα αποτελέσματα επεκτείνονται και στα αντικείμενα αυτά.Στη διατριβή αυτή, μελετάται η παράμετρος «πλήθος εμφανίσεων του προτύπου τ», όπου ως πρότυπο θεωρείται μια οποιαδήποτε δυαδική λέξη. Στο πρώτο Κεφάλαιο, παρουσιάζονται εκτενώς οι βασικές έννοιες που χρησιμοποιούνται στα υπόλοιπα Κεφάλαια.Στο δεύτερο Κεφάλαιο, μελετάται το πρόβλημα της απαρίθμησης των εμφανίσεων ενός προτύπουτ σε καθορισμένο ύψος j στο μονοπάτι Dyck. Το πρόβλημα απαντάται πλήρως, για κάθε πρότυπο τ και δίνεται ο τύπος της αντίστοιχης γεννήτριας συνάρτησης.Στο τρίτο Κεφάλαιο, μελετάται το πρόβλημα της απαρίθμησης των εμφανίσεων ενός προτύπου τ ανεξαρτήτως ύψους ή όταν το ύψος τους είναι τουλάχιστον j. Το πρόβλημα απαντάται πλήρως, μέσω της αντίστοιχης γεννήτριας συνάρτησης, όταν το πρότυπο τ είναι ένα πρόθεμα Dyck ή ένα επίθεμα Dyck, καθώς και σε ορισμένες άλλες γενικές περιπτώσεις. Στο τέταρτο Κεφάλαιο, μελετάται το πρόβλημα της απαρίθμησης των εμφανίσεων ενός προτύπουτ μήκους 3 σε μονοπάτια Grand-Dyck. Επιπλέον, θεωρώντας τη βοηθητική παράμετρο «πλήθος ανόδων σε αρνητικό ύψος», προκύπτουν σε ορισμένες περιπτώσεις εκλεπτύνσεις του θεωρήματος Chung-Feller. Στο πέμπτο Κεφάλαιο, μελετώνται τρεις νέες παράμετροι οι οποίες αποτελούν εξειδικεύσεις της γνωστής παραμέτρου «πλήθος κορυφών» των μονοπατιών Dyck.Στο έκτο Κεφάλαιο δίδονται ακριβείς αλλά και ασυμπτωτικοί τύποι για τη μέση τιμή καιτη διακύμανση των παραμέτρων που παρουσιάζονται στα υπόλοιπα κεφάλαια.