Βέλτιστοι χρόνοι διακοπής και εφαρμογές σε μαθηματικά μοντέλα της εκπαίδευσης

Abstract

The objective of this thesis is to present a model of employee’s profile formation in finite discrete and continuous time in a viable and complete employee's profile formation space (Ω, F, P). The problem we attend is to address the optimal time of termination employee’s education by maximizing the employer’s expected discounted profits. The problem of addressing an “optimal stopping time” is solved of by constructing the Snell Envelope of the stochastic sequence of employer’s discounted price of profit on the profile formation option. The process Snell Envelope defines the employer’s profile formation option to terminate employee’s education. In finite discrete time following a discussion of the use of self-financing formation strategies to hedge against formation risk we show how the employer's (investor) profile formation option can be priced using an equivalent measure for which the discounted price process is a martingale. This is illustrated for the binomial Cox-Ross-Rubinstein pricing model. In finite continuous time our interest lies in addressing the value of the "termination of formation' option at any discrete time point. This is illustrated for the Black-Scholes model which refers to continuous time and presupposes continuous educational activities. Specifically, by defining the sequence of the employer's discounted payoffs of stopping formation option, we have a finite stochastic process where we can apply the conclusions of a discrete approximate model of Cox-Ross-Rubinstein. Also specific numerical examples are given in finite discrete and continuous time. The fundamental objective of this thesis is to contribute to the application of optimization methods in socioeconomic problems.

Το αντικείμενο της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η παρουσίαση ενός μοντέλου κατάρτισης εργαζομένων σε πεπερασμένο διακριτό και συνεχή χρόνο με ένα βιώσιμο και πλήρη χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Το πρόβλημα που μελετάται είναι η εύρεση του βέλτιστου χρόνου διακοπής κατάρτισης εργαζομένων ίδιου επίπεδου μεγιστοποιώντας το αναμενόμενο προεξοφλημένο κέρδος του εργοδότη και λύνεται με την κατασκευή του καλύμματος Snell των προεξοφλημένων κερδών του εργοδότη. Το κάλυμμα Snell ορίζει το δικαίωμα διακοπής του εργοδότη να τερματίσει την κατάρτιση εργαζομένων. Σε πεπερασμένο διακριτό χρόνο η στρατηγική κατάρτισης είναι αυτοχρηματοδοτούμενη και αποτιμάται το δικαίωμα του εργοδότη να τερματίσει την κατάρτιση εργαζομένων με τη χρήση ενός ισοδύναμου μέτρου πιθανότητας σύμφωνα με το οποίο η ακολουθία των προεξοφλημένων τιμών είναι martingale. Η προσέγγιση γίνεται με το διωνυμικό μοντέλο των Cox-Ross-Rubinstein. Σε πεπερασμένο συνεχή χρόνο η αποτίμηση της αξίας του δικαιώματος διακοπής γίνεται σε κάθε διακριτή χρονική στιγμή με το μοντέλο των Black-Scholes και προϋποθέτει συνεχείς εκπαιδευτικές δραστηριότητες. Συγκεκριμένα ορίζεται η πεπερασμένη ακολουθία των προεξοφλημένων κερδών του εργοδότη στην οποία εφαρμόζονται τα συμπεράσματα του προσεγγιστικού διακριτού μοντέλου των Cox-Ross-Rubinstein. Επίσης παρατίθενται αριθμητικά παραδείγματα τόσο σε διακριτό όσο και σε συνεχή χρόνο. Η εκπόνηση της παρούσας διατριβής συμβάλει στην εφαρμογή μεθόδων βελτιστοποίησης σε οικονομικοκοινωνικά προβλήματα.