Οικοδόμηση μαθηματικών εννοιών σε υπολογιστικά περιβάλλοντα πολλαπλών αναπαραστάσεων: η περίπτωση της ανισότητας

Abstract

This thesis is placed in the wider scientific area of the didactical exploitation of digital tools that support multiple representations for the construction of abstract algebraic concepts in high school. The main subject of the thesis is the investigation and evaluation of an alternative didactical transformation of the concept of inequality from scientific concept to school knowledge, by exploiting computational representations of multiple digital tools. Our aim is the design, implementation and evaluation of a didactic intervention regarding the concepts of inequality and inequation. The design of the didactic intervention was based on the theoretical framework of didactic transposition (Chevallard, 1985), the DeFT model (Ainsworth, 2006, 2008) and the instrumental approach (Rabardel, 1995; Trouche, 2004). Our didactic intervention, occurred in two design cycles, according to the methodology of the design-based research (design-based research), (Brown, 1992; Collins, 1992, Wang & Hannafin, 2005). For the evaluation of the didactic intervention we implemented qualitative and quantitative methods for the analysis of our data (mixed methods research), (Creswell et al., 2003). The analysis of the results and the evaluation of the teaching intervention shows that students approached the abstract concept of inequality in a geometric framework, by exploiting visual and other interconnected representations and thereby building actively the conceptual background for inequalities, comparison and order, detached from the approach of inequations through equations, which, according to the literature, acts as an epistemological and didactical obstacle (Brousseau, 1997, 2006), by creating misconceptions and errors regarding the concepts of inequality and inequation. Furthermore, the results showed that students have used computational tools of dynamic geometry in order to create a great amount of strategies concerning comparison of lengths unusual for school practice. Having gained visual perception about length comparison, students proceeded to the comparison of numbers, by combining diagrammatic, geometric, arithmetic and algebraic-symbolic representations. Furthermore, the geometric approach of basic properties of order and the handling of signs in inequalities by exploiting computational tools of multiple representations, helped students to understand structures associated with the handling of inequality situations in algebraic - symbolic level.

Η παρούσα διδακτορική διατριβή εντάσσεται στην ευρύτερη επιστημονική περιοχή της διδακτικής αξιοποίησης υπολογιστικών εργαλείων πολλαπλών αναπαραστάσεων για την οικοδόμηση αφηρημένων αλγεβρικών εννοιών στο Γυμνάσιο. Σκοπός της είναι η διερεύνηση του διδακτικού μετασχηματισμού της έννοιας της ανισότητας και η δοκιμή και αξιολόγηση ενός εναλλακτικού μοντέλου διδακτικού μετασχηματισμού της ανισότητας από επιστημονική έννοια σε σχολική γνώση, με αξιοποίηση υπολογιστικών εργαλείων πολλαπλών αναπαραστάσεων. Ο σχεδιασμός της διδακτικής παρέμβασης στηρίχθηκε στο θεωρητικό πλαίσιο του διδακτικού μετασχηματισμού (Chevallard, 1985), στο μοντέλο πολλαπλών αναπαραστάσεων DeFT (Ainsworth, 1999, 2006, 2008) και στην εργαλειακή προσέγγιση (Rabardel, 1995; Trouche, 2004). Αρχικά, μελετήθηκε η επιστημολογική και παιδαγωγική γένεση της έννοιας, καθώς και ο υφιστάμενος διδακτικός μετασχηματισμός της σε σχολική γνώση. Στο πλαίσιο αυτό, διαπιστώθηκε ότι η ανισότητα προσεγγίζεται διδακτικά μέσω της ανίσωσης και ως υποπερίπτωση των εξισώσεων. Σύμφωνα με τη βιβλιογραφία, η προσέγγιση αυτή δημιουργεί παρανοήσεις στους μαθητές σχετικά με την έννοια της ανισότητας, καθώς και λάθη στη διαχείριση προσήμων, ανισοτικών συμβόλων, ανισοτικών σχέσεων και ανισώσεων. Ως εκ τούτου, διατυπώθηκε ένας εναλλακτικός διδακτικός μετασχηματισμός της ανισότητας, ως αυτόνομη έννοια του Αναλυτικού Προγράμματος Σπουδών (Α.Π.Σ.) Γυμνασίου και την προσέγγιση αυτής μέσα από τις υπο-έννοιες της σύγκρισης, της διάταξης και της ανίσωσης. Στο πλαίσιο αυτό, σχεδιάστηκε και υλοποιήθηκε διδακτική παρέμβαση αναφορικά με τη διδακτική προσέγγιση κάθε υπο-έννοιας και στο τέλος σύνθεση αυτών στην έννοια της ανισότητας. Η υλοποίηση της διδακτικής παρέμβασης έλαβε χώρα σε δύο κύκλους σχεδιασμού, σύμφωνα με τη μεθοδολογία της έρευνας σχεδιασμού (design - based research), (Brown, 1992; Collins, 1992, Wang & Hannafin, 2005). Η αξιολόγηση της διδακτικής παρέμβασης περιλαμβάνει ποιοτικές και ποσοτικές μεθόδους ανάλυσης των δεδομένων της έρευνας (mixed method research), (Creswell et al., 2003). Από την ανάλυση και την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων της διδακτικής παρέμβασης προκύπτει ότι οι μαθητές της έρευνας, προσεγγίζοντας την αφηρημένη έννοια της ανισότητας σε ένα γεωμετρικό πλαίσιο και συνδυάζοντας δυναμικά και ταυτόχρονα πολλαπλές οπτικές, γεωμετρικές, αριθμητικές, συμβολικές, λεκτικές και γραφικές διασυνδεδεμένες εξωτερικές αναπαραστάσεις, οικοδομούν ενεργητικά το εννοιολογικό υπόβαθρο για την ανισότητα, μέσω της σύγκρισης και της διάταξης, ώστε να είναι σε θέση να χειρισθούν ανισοτικές δομές και ανισώσεις. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι οι μαθητές της έρευνας αξιοποίησαν υπολογιστικά εργαλεία δυναμικής γεωμετρίας δημιουργώντας πληθώρα στρατηγικών σύγκρισης μηκών, ασυνήθιστες για τη σχολική πρακτική. Έχοντας προσεγγίσει με ποικίλους τρόπους τη σύγκριση μηκών (με μετρήσεις αλλά και χωρίς μετρήσεις) και έχοντας αποκτήσει γεωμετρική αντίληψη σύγκρισης μεγεθών, οι μαθητές περάσανε από τη σύγκριση μεγεθών στη σύγκριση αριθμών και στον αλγεβρικό κανόνα σύγκρισης με μεταβλητές, συνδυάζοντας γραφικές, γεωμετρικές, αριθμητικές, αλγεβρικές και συμβολικές αναπαραστάσεις. Η γεωμετρική προσέγγιση βασικών ιδιοτήτων διάταξης με αξιοποίηση υπολογιστικού εργαλείου δυναμικής γεωμετρίας και η διαχείριση προσήμων και συμβόλων σε ανισότητες με αξιοποίηση υπολογιστικού εργαλείου δυναμικής άλγεβρας φάνηκε να συντελούν ώστε οι μαθητές να κατανοήσουν δομές και διαδικασίες που συνδέονται με την έννοια της ανισότητας σε αλγεβρικό – συμβολικό επίπεδο, μέσα από τη δημιουργία εργαλειακών τεχνικών, οι οποίες κάνουν εμφανή τα νοητικά σχήματα που οικοδόμησαν οι μαθητές σχετικά με την έννοια της ανισότητας κατά την εμπλοκή τους σε αυτή την έρευνα.