Θέματα πολυδιάστατης ανάλυσης με ελλειπτικές κατανομές και μονότονα ελλιπή δεδομένα

Abstract

Our main aim in this dissertation was to extend the available results in the literature in two aspects: on the one hand adopting elliptically contoured distributions and on the other hand considering monotone missing data. Initially, the analytic form of the maximum likelihood estimators is derived for the mean vector and the scale matrix of the elliptic distributions. The likelihood ratio test statistics are obtained for testing several hypotheses about the mean and scale parameters of the elliptic distributions, in the presence of missing data with a monotone pattern (Batsidis and Zografos 2006, J. St. Plan. Inference, 136, 2606-2629). Afterwards, two rules are proposed for the classification of an observation into one of two elliptic populations, which differ only in their location parameters, under the assumption of 2-step monotone missing training samples. The first is derived if, in the usual linear discriminant rule, the unknown parameters are replaced by their estimators. Hence, the analytic expressions for the MLEs of the mean vectors and the common scale matrix of two elliptic populations based on 2-step training samples are obtained. The second rule is constructed, as a linear combination of two different linear discriminant functions, which are obtained by using two different methods of handling missing data. Based on multivariate t data, simulation results are presented in order to compare the two procedures (Batsidis and Zografos, 2006, Metrika, 64, 221-241). Furthermore, we study the distribution of the probabilities of the errors of misclassification of a new observation into one of two multivariate normal populations, which have distinct mean vectors and common covariance matrix, under the additional assumption that we have to estimate the unknown parameters by using 2-step monotone training samples (Batsidis et al., 2006, Com. St. and Data Analysis, 50, 2600-2634). Finally, we consider the problem of multivariate elliptic linear regression model of p response variables on a q explanatory variables, when the response variables have missing values of a monotone pattern. In this frame, the explicit form for the MLE of the parameters is derived. Moreover, we obtain the likelihood ratio test statistic in order to examine the existence of linear constraints on the regression parameters (Batsidis and Zografos, 2007, Com. Stat.Th. Methods, accepted).

Οι βασικές υποθέσεις πάνω στις οποίες οικοδομείται η διατριβή είναι δύο: α) ένα ή περισσότερα μονότονα ελλιπή σύνολα δεδομένων είναι διαθέσιμα από β) ισάριθμους ελλειπτικούς πληθυσμούς με άγνωστες παραμέτρους θέσης και κλίμακας. Αρχικά, δίνεται η αναλυτική έκφραση των Ε.Μ.Π. των παραμέτρων θέσης και κλίμακας της ελλειπτικής κατανομής και κατασκευάζονται στατιστικά τεστ πηλίκου πιθανοφάνειας για ελέγχους υποθέσεων που διατυπώνονται μέσω αυτών των παραμέτρων, με χρήση ενός k-βηματικού μονότονα ελλιπούς συνόλου δεδομένων (Batsidis and Zografos 2006, J. St. Plan. Inference, 136, 2606-2629). Έπειτα προτείνονται δύο διαδικασίες για την ταξινόμηση μίας νέας παρατήρησης σε έναν από δύο ελλειπτικούς πληθυσμούς, με άγνωστες και διακεκριμένες παραμέτρους θέσης και κοινή, αλλά άγνωστη, παράμετρο κλίμακας, υπό την θεώρηση 2-βηματικών μονότονα ελλιπών εκπαιδευτικών συνόλων δεδομένων. Η πρώτη διαδικασία προκύπτει αν στο διαχωριστικό κανόνα του Bayes, οι άγνωστες πληθυσμιακές παράμετροι αντικατασταθούν από τους Ε.Μ.Π. των. Η κατασκευή της προϋποθέτει την εύρεση σε κλειστή μορφή των Ε.Μ.Π. των άγνωστων πληθυσμιακών παραμέτρων. Ο δεύτερος κανόνας προκύπτει ως γραμμικός συνδυασμός δύο διαχωριστικών κανόνων στους οποίους οδηγούμαστε ακολουθώντας δύο διαφορετικές μεθόδους χειρισμού των ελλιπών συνόλων δεδομένων. Η αποδοτικότητα των δύο διαδικασιών συγκρίνεται χρησιμοποιώντας προσομοιωμένα δεδομένα από δύο πολυδιάστατους t πληθυσμούς (Batsidis and Zografos, 2006, Metrika, 64, 221-241). Επιπλέον, διερευνάται η κατανομή των πιθανοτήτων εσφαλμένης ταξινόμησης, μιας παρατήρησης σε έναν από δύο πολυδιάστατους κανονικούς πληθυσμούς με διακεκριμένες παραμέτρους θέσης και κοινό πίνακα διακυμάνσεων, υπό την υπόθεση ότι οι άγνωστες παράμετροι εκτιμώνται χρησιμοποιώντας 2-βηματικά μονότονα ελλιπή σύνολα δεδομένων (Batsidis et al., 2006, Com. St. and Data Analysis, 50, 2600-2634). Τέλος, μελετάται το μοντέλο της πολυμεταβλητής γραμμικής παλινδρόμησης p εξαρτημένων μεταβλητών σε m ανεξάρτητες μεταβλητές, υπό τις υποθέσεις ότι τα σφάλματα ακολουθούν ελλειπτική κατανομή, και οι διαθέσιμες παρατηρήσεις για τις εξαρτημένες μεταβλητές είναι μονότονα ελλιπείς. Στο πλαίσιο αυτό, δίνεται η αναλυτική έκφραση των Ε.Μ.Π. των παραμέτρων του μοντέλου και κατασκευάζεται το στατιστικό τεστ πηλίκου μέγιστων πιθανοφανειών για τον έλεγχο της ύπαρξης γραμμικών περιορισμών στους συντελεστές της παλινδρόμησης (Batsidis and Zografos, 2007, Com. Stat.Th. Methods, accepted).