Υστερητικά πεπερασμένα στοιχεία και μακροστοιχεία για τη μη γραμμική δυναμική ανάλυση των κατασκευών

Abstract

This dissertation focuses on the derivation of computational tools that facilitate both the development and the application of nonlinear solution methods. Attention is drawn on the definition of a generalized hysteretic model that accounts for any type of yield function and kinematic hardening rule. This is accomplished on the basis of the classical plasticity theory and the mathematical theory of hysteresis. Based on the phenomenological approach of classical plasticity the relations derived in stress space are projected onto the stress-resultant space. Within this framework a set of hysteretic macro-elements is derived for the analysis of skeletal structures. Moreover, a generic procedure for the derivation of finite elements is presented. The stiffness matrix of the generic element is established as a smooth function of the current stress state through the proposed Bouc-Wen formulation. The classical second order solution schemes, namely the central difference method and the Newmark family of solvers are reformulated to account for the hysteretic equations in rate form. Moreover, the state-space approach is implemented for the solution of the equations of motion. A predictor corrector differential solver is used which demonstrates certain advantages when stiff problems are accounted for. Finally, a formulation of the equations of motion is proposed, that renders computational advantages compared to standard solution schemes, since the state matrices of the structure are evaluated only once in the beginning of the analysis and remain constant throughout the analysis procedure. A general purpose finite element code is developed that accounts for the hysteretic finite elements and macro-elements as well as the solution procedures introduced in this work.

Η παρούσα διατριβή εστιάζει στην ανάπτυξη κατάλληλων υπολογιστικών εργαλείων τα οποία διευκολύνουν τόσο την ανάπτυξη όσο και την εφαρμογή των μη γραμμικών μεθόδων ανάλυσης. Για το σκοπό αυτό, δίδεται ιδιαίτερη έμφαση στην ανάπτυξη ενός γενικευμένου υστερητικού προσομοιώματος, στα πλαίσια της κλασικής θεωρίας της συσχετισμένης πλαστικότητας. Το προσομοίωμα αυτό μπορεί να αποδόσει οποιαδήποτε ελαστοπλαστική συμπεριφορά εναλλάσοντας το κριτήριο διαρροής και τον νόμο κράτυνσης.πλαστικότητας. Οι προκύποτουσες καταστατικές σχέσεις , σε όρους εντατικών μεγεθών – γενικευμένων παρμορφώσεων, χρησιμοποιούνται για την ανάπτυξη προτώτυπων μακροστοιχείων για τη μη γραμμική ανάλυση ραβδωτών φορέων. Τέλος, παρουσιάζεται μια γενική διαδικασία για την παραγωγή υστερητικών πεπερασμένων στοιχείων. Το υστερητικό μητρώο δυσκαμψίας των στοιχείων προκύπτει ως μία συνεχής συνάρτηση της εντατικής κατάστασης του στοιχείου. Στην παρούσα διατριβή, για την επίλυση των μη γραμμικών εξισώσεων κίνησης της κατασκευής οι κλασσικές αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων επαναδιατυπώνονται. Η διαδικασία αυτή είναι απαραίτητη ώστε να εισαχθούν οι υστερητικές εξισώσεις στις υφιστάμενες μεθόδους επίλυσης. Εναλλακτικά, προτείνεται η διατύπωση των εξισώσεων κίνησης και των υστερητικών καταστατικών εξισώσεων σε μορφή χώρου φάσης. Η διατύπωση αυτή παρουσιάζει υπολογιστικά πλεονεκτήματα, ειδικά σε μαθηματικά «δύσκαμπτα» προβλήματα. Επιπρόσθετα, προτείνεται μία νέα μέθοδος επίλυσης κατά την οποία τα καταστατικά μητρώα της κατασκευής και συγκεκριμένα το μητρώτο δυσκαμψίας και το υστερητικό μητρώο υπολογίζονται μόλις μία φορά στην αρχή της ανάλυσης.