Backward stochastic differential equations with jumps are stable

Abstract

A backward stochastic differential equation is a stochastic differential equation whose terminal value is known, in contrast to a (forward) stochastic differential equation whose initial value is known, and whose solution has to be adapted to a given filtration. The main aim of this thesis is to provide the suitable framework for the stability of stochastic differential equations with jumps, hereinafter BSDEs or BSDE when we refer to a single object. With the term stability we understand the continuity of the operator that maps the standard data of a BSDE, a set which among others includes the terminal value of the BSDE and the filtration with respect to which the solution has to be adapted, to its solution. In other words, the stability property allows to obtain an approximation of the solution of the BSDE under interest, once we determine an approximation of the standard data of the BSDE under interest. In this thesis we provide a general wellposedness result of multidimensional BSDEs with stochastic Lipschitz generator and which is driven by a possibly stochastically discontinuous square-integrable martingale. The time horizon can be infinite and as already implicitly has been stated, the right-continuous filtration is allowed to be stochastically discontinuous. Moreover, we provide a framework under which the stability property of BSDEs is verified. This framework allows for both continuous-time and discrete-time L2−type approximations, which can turn out to be particularly useful for the well-posedness of numerical schemes for BSDEs. These results are presented in the second and the fourth chapter of this thesis. In the third chapter the stability of martingale representations is obtained, a result which lies at the core of the stability property of BSDEs. The property of the stability of martingale representations is not only a useful tool for our current needs, but it is also an interesting result on its own. Roughly speaking, it amounts to the convergence of the spaces generated by a convergent sequence of stochastic integrators as well as of their corresponding orthogonal spaces. Apart from these main results, a series of other results have been obtained, which either improve or complement classical ones. The most interesting of them is of purely analytic nature. It provides a characterisation of the weak-convergence of finite measures on the positive real-line by means of relatively compact sets of the Skorokhod space endowed with the J1−topology. We remain in the Skorokhod space, where we refine a classical result on convergence of the jump-times of a J1−convergent sequence. More precisely, we deal with the case of a multidimensional J1−convergent sequence and we prove that the times that the heights of the jumps lie in a suitable fixed set form a convergent sequence in the extended positive real-line. We proceed with the theory of Young functions, where the contribution amounts to the following result. We prove that the conjugate Young function of the composition of a moderate Young function with the quadratic function is also a moderate Young function with further nice properties. Finally, a new inequality regarding generalised inverses complements a classical one.

Μια οπισθόδρομη στοχαστική διαφορική εξίσωση είναι μια στοχαστική διαφορική εξίσωση της οποίας η τελική τιμή είναι γνωστή, σε αντίθεση με μια στοχαστική διαφορική εξίσωση της οποίας η αρχική τιμή είναι γνωστή και της οποίας η λύση πρέπει να προσαρμοστεί σε μια δεδομένη διήθηση. Ο κύριος στόχος αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι να παρέχει το κατάλληλο πλαίσιο για την ευστάθεια των οπισθόδρομων στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων με άλματα, εφεξής BSDEs ή BSDE όταν αναφερόμαστε σε ένα μεμονωμένο αντικείμενο. Με τον όρο ευστάθεια κατανοούμε τη συνέχεια του τελεστή που απεικονίζει τα τυπικά δεδομένα μιας BSDE, δηλαδή ένα σύνολο που μεταξύ άλλων περιλαμβάνει την τελική τιμή της BSDE και τη διύλιση ως προς την οποία πρέπει να προσαρμοστεί η λύση, στη λύση της BSDE. Με άλλα λόγια, η ιδιότητα ευστάθειας επιτρέπει την προσέγγισης της λύσης της υπό ενδιαφέρον BSDE, αφού προσδιορίσουμε μια προσέγγιση των τυπικών δεδομένων της υπό ενδιαφέρον BSDE. Σε αυτή τη διατριβή παρέχουμε ένα γενικό αποτέλεσμα καλής τοποθέτησης πολυδιάστατων BSDEs με στοχαστικό Lipschitz γεννήτορα και η οποία οδηγείται από μια πιθανώς στοχαστικά ασυνεχή τετραγωνικά ολοκληρώσιμη martingale διαδικασία. Ο χρονικός ορίζοντας μπορεί να είναι άπειρος και όπως έχει ήδη δηλωθεί σιωπηρά, η δεξιά-συνεχής διήθηση επιτρέπεται να είναι στοχαστικά ασυνεχής. Επιπλέον, παρέχουμε ένα πλαίσιο κάτω από το οποίο επαληθεύεται η ιδιότητα ευστάθειας των BSDE. Αυτό το πλαίσιο επιτρέπει προσεγγίσεις τύπου συνεχούς χρόνου και διακριτού χρόνου υπό την L2 νόρμα, οι οποίες μπορεί να αποδειχθούν ιδιαίτερα χρήσιμες για την ορθή τοποθέτηση των αριθμητικών σχημάτων για BSDEs. Τα αποτελέσματα αυτά παρουσιάζονται στο δεύτερο και στο τέταρτο κεφάλαιο της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η ευστάθεια των αναπαραστάσεων martingale διαδικασιών, ένα αποτέλεσμα που βρίσκεται στον πυρήνα της ιδιότητας ευστάθειας των BSDE. Η ιδιότητα της ευστάθειας των αναπαραστάσεων martingale δεν είναι μόνο ένα χρήσιμο εργαλείο για την ευστάθεια των BSDEs, αλλά είναι επίσης ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα από μόνη της. Σε γενικές γραμμές, ισοδυναμεί με τη σύγκλιση των χώρων που δημιουργούνται από μια συγκλίνουσα ακολουθία στοχαστικών ολοκληρωτών καθώς και των αντίστοιχων ορθογώνιων χώρων τους.Εκτός από αυτά τα κύρια αποτελέσματα, έχουν αποδειχθεί μια σειρά από άλλα αποτελέσματα, τα οποία είτε βελτιώνουν είτε συμπληρώνουν κλασικά αποτελέσματα. Το πιο ενδιαφέρον από αυτά είναι καθαρά αναλυτικού χαρακτήρα. Παρέχει έναν χαρακτηρισμό της ασθενούς σύγκλισης των πεπερασμένων μέτρων στη θετική πραγματική γραμμή μέσω σχετικά συμπαγών συνόλων του χώρου Skorokhod εφοδιασμένου με την J1-τοπολογία. Παραμένουμε στον χώρο Skorokhod, όπου εκλεπτύνουμε ένα κλασικό αποτέλεσμα σχετικά με τη σύγκλιση των χρόνων άλματος μιας J1-συγκλίνουσας ακολουθίας. Πιο συγκεκριμένα, για την περίπτωση μιας πολυδιάστατης συγκλίνουσας J1-ακολουθίας αποδεικνύουμε ότι οι χρόνοι που τα ύψη των αλμάτων βρίσκονται σε ένα κατάλληλο σταθερό σύνολο σχηματίζουν μια συγκλίνουσα ακολουθία στην εκτεταμένη θετική πραγματική γραμμή. Νέα αποτελέσματα επίσης παρουσιάζονται για συναρτήσεις Young. Τέλος, μια νέα ανισότητα σχετικά με τις γενικευμένες αντίστροφες συναρτήσεις συμπληρώνει τις γνωστές κλασικές ανισότητες.