On minimal models and the termination of flips for generalized pairs

Abstract

The aim of this thesis is the investigation of two open problems in higher-dimensional birational geometry, namely the existence of minimal models conjecture and the termination of flips conjecture. We mainly work with generalized pairs and we therefore study the corresponding versions of the aforementioned conjectures of the Minimal Model Program in this wider context. Consequently, the first part of the thesis is devoted to the development of the basic aspects of the theory of generalized pairs. In order to deal with the existence of minimal models conjecture, we first study particular Zariski decompositions in higher dimensions, the so-called weak Zariski decompositions and NQC Nakayama-Zariski decompositions. Subsequently, we prove that the existence of minimal models for log canonical generalized pairs follows from the existence of minimal models for smooth varieties, and we also demonstrate that the existence of minimal models is essentially equivalent to the existence of those Zariski decompositions. The last part of this thesis focuses on the termination of flips conjecture. First, we show the special termination for log canonical generalized pairs. Afterwards, we establish the termination of flips for log canonical generalized pairs of dimension 3 as well as for pseudo-effective log canonical generalized pairs of dimension 4.

Σκοπός της παρούσης διατριβής είναι η διερεύνηση δύο ανοιχτών προβλημάτων της αμφίρητης γεωμετρίας ανωτέρων διαστάσεων, δηλαδή της εικασίας περί της ύπαρξης ελαχιστικών μοντέλων και της εικασίας περί του τερματισμού των αναστροφών. Δουλεύουμε κυρίως με γενικευμένα ζεύγη και επομένως μελετούμε τις εκδοχές των προαναφερθέντων εικασιών του προγράμματος ελαχιστικών μοντέλων σε αυτό το γενικότερο πλαίσιο. Συνεπώς, το πρώτο τμήμα της διατριβής είναι αφιερωμένο στην ανάπτυξη των βασικών πτυχών της θεωρίας των γενικευμένων ζευγών. Προκειμένου να ασχοληθούμε με την εικασία περί της ύπαρξης ελαχιστικών μοντέλων, μελετούμε πρώτα συγκεκριμένες διασπάσεις Zariski σε ανώτερες διαστάσεις, τις λεγόμενες ασθενείς Zariski διασπάσεις και NQC Nakayama-Zariski διασπάσεις. Στην συνέχεια αποδεικνύουμε ότι η ύπαρξη ελαχιστικών μοντέλων για log-κανονικά γενικευμένα ζεύγη έπεται από την ύπαρξη ελαχιστικών μοντέλων για λεία πολυπτύγματα, και καταδεικνύουμε επίσης ότι η ύπαρξη ελαχιστικών μοντέλων είναι ουσιαστικά ισοδύναμη με την ύπαρξη τέτοιων διασπάσεων Zariski. Το τελευταίο τμήμα της διατριβής επικεντρώνεται στην εικασία περί του τερματισμού των αναστροφών. Αρχικά δείχνουμε τον ειδικό τερματισμό των αναστροφών. Έπειτα αποδεικνύουμε τον τερματισμό των αναστροφών για log-κανονικά γενικευμένα ζεύγη διάστασης 3 όπως επίσης και για ψευδο-θετικά log-κανονικά γενικευμένα ζεύγη διάστασης 4.

Das Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung zweier offener Probleme in der höherdimensionalen birationalen Geometrie, nämlich der Vermutung zur Existenz von minimalen Modellen und der Vermutung zur Terminierung von Flips. Wir arbeiten hauptsächlich mit verallgemeinerten Paaren und untersuchen demzufolge die entsprechenden Versionen der oben genannten Vermutungen des Minimal-Modell-Programms in diesem breiteren Rahmen. Der erste Teil der Dissertation widmet sich daher der Entwicklung der grundlegenden Aspekte der Theorie der verallgemeinerten Paare. Um die Vermutung zur Existenz von minimalen Modellen anzugehen, betrachten wir zunächst bestimmte Zariski-Zerlegungen in höheren Dimensionen, die sogennanten schwachen Zariski-Zerlegungen und NQC Nakayama-Zariski-Zerlegungen. Anschließend beweisen wir, dass die Existenz von minimalen Modellen für log-kanonische verallgemeinerte Paare aus der Existenz von minimalen Modellen für glatte Varietäten folgt, und ferner, dass die Existenz von minimalen Modellen im Wesentlichen zur Existenz dieser Zariski-Zerlegungen äquivalent ist. Der letzte Teil dieser Arbeit befasst sich mit der Vermutung zur Terminierung von Flips. Wir zeigen zuerst die Spezielle Terminierung für log-kanonische verallgemeinerte Paare. Danach beweisen wir die Terminierung von Flips für log-kanonische verallgemeinerte Paare der Dimension 3 sowie für pseudo-effektive log-kanonische verallgemeinerte Paare der Dimension 4.