Από τη γεωμετρική αφαίρεση στις διατάξεις με νόημα: γεωμετρικοί σχηματισμοί στο έργο του M.C. Escher

Abstract

The present doctoral thesis explores the part of M.C. Escher’s work, which is related to the so-called regular division of the plane. The regular division of the plane is a special case of the most general notion of tessellation. Tessellations, in the work of M.C. Escher, are not composed of abstract geometric shapes, but of recognizable figures, such as birds, fish, shells, humans etc, so that these figures function as the background of each other. In the regular and (potentially) infinite repetition of figures, Escher saw the means to carry out one of his obsessions: the representation of the infinite. The work of M.C. Escher is usually explored from the viewpoint of the theory of symmetry. In this thesis, the interpretation of his work is attempted by employing the notion of tessellation as the main research tool, although references to the theory of symmetry are not avoided. We put forward the hypothesis that, as a rule, M.C. Escher’s works related to the regular division of the plane are applications, directly or indirectly, of regular or semiregular tessellations or their duals, in the Euclidean plane, in the surface of a sphere as well as in the Poincaré disk. This hypothesis confirmed in the doctoral thesis and this led to new geometric interpretations of several works of M.C. Escher, mainly in the Euclidean plane and the Poincaré disk. In addition, the thesis proposes a procedure for the transition from an abstract geometric background to recognizable interlocking figures, which can be considered as "meaningful patterns". The thesis explores also ways of reproducing the geometric background of the related works of M.C. Escher, by means of geometry or computer programs. To this end, the regular and semiregular tessellations in the Euclidean plane, the spherical surface, and the Poincaré disk have been investigated from different points of view. Special emphasis has been given to their constructibility by means of the ruler and the compass. This research has been extended to cover the convex regular and semiregular polyhedra of the three-dimensional Euclidean space (convex prisms and antiprisms included), as well as their duals. These polyhedra are in direct relation with tessellations in the spherical surface and constitute the geometric background of significant M.C. Escher’s works. Two methods are presented, one for their geometric construction, and one for calculation of their metric elements; the latter method, suitably adjusted, is also applicable to the case of the four non-convex regular polyhedra of Kepler and Poinsot. Most figures in the thesis have been drawn by means of the software application TILES, which has been developed by the author; without this application many figures would be impossible to draw.

Η παρούσα διατριβή ερευνά το τμήμα εκείνο του έργου του M.C. Escher το σχετιζόμενο με την έννοια που ο ίδιος αποκαλούσε κανονική διαίρεση του επιπέδου. Η κανονική διαίρεση του επιπέδου αποτελεί ειδική εκδοχή της γενικότερης έννοιας της πλακόστρωσης (tessellation). Οι πλακοστρώσεις στο έργο του Escher δεν συντίθενται από αφηρημένα γεωμετρικά σχήματα αλλά από αναγνωρίσιμες μορφές πουλιών, ψαριών, κογχυλιών, ανθρώπων κτλ., με τρόπον ώστε εκάστη να λειτουργεί ως φόντο των παρακειμένων της. Στην κανονική και επ’ άπειρον (δυνητικά) επανάληψη των μορφών, ο Escher είδε το μέσον για την πραγματοποίηση μιας από τις εμμονές του: της απεικόνισης του απείρου. Οι συνήθεις προσεγγίσεις στο έργο του Escher είναι από την άποψη της θεωρίας της συμμετρίας. Στην παρούσα διατριβή, χωρίς να αποφεύγονται αναφορές σε έννοιες της θεωρίας της συμμετρίας, επιχειρείται η ερμηνεία αυτού του έργου με κύριο ερευνητικό μοχλό την έννοια της πλακόστρωσης. Η υπόθεση εργασίας είναι ότι, κατά κανόνα, τα έργα του Escher, που σχετίζονται με την κανονική διαίρεση του επιπέδου, αποτελούν, άμεσα ή έμμεσα, εφαρμογές κανονικών ή ημικανονικών πλακοστρώσεων ή δυϊκών τους, στο ευκλείδειο επίπεδο, στην επιφάνεια της σφαίρας ή στο δίσκο Poincaré. Η έρευνα επαληθεύει την υπόθεση αυτή και οδηγεί σε νέες ερμηνείες πολλών έργων του Escher, κυρίως στο ευκλείδειο επίπεδο και στο δίσκο Poincaré. Πέραν αυτού, στη διατριβή υποδεικνύεται και η διαδικασία μετάβασης από το αφηρημένο γεωμετρικό υπόβαθρο στα συμπλέγματα αναγνωρίσιμων μορφών, στις «διατάξεις με νόημα». Στόχος της διατριβής είναι και η έρευνα της δυνατότητας αναπαραγωγής του γεωμετρικού υποβάθρου των σχετικών έργων του Escher, γεωμετρικά ή με χρήση του υπολογιστή. Κατά συνέπεια, εστράφη σε λεπτομερή έρευνα των κανονικών και ημικανονικών πλακοστρώσεων στο ευκλείδειο επίπεδο, στην επιφάνεια της σφαίρας και στο δίσκο Poincaré. Οι πλακοστρώσεις αυτές ερευνώνται από πολλές απόψεις, ειδικότερα από την άποψη της δυνατότητας γεωμετρικής κατασκευής τους, δηλαδή με κανόνα και διαβήτη. Η έρευνα επεκτείνεται και στα κυρτά κανονικά και ημικανονικά πολύεδρα του τρισδιάστατου ευκλειδείου χώρου (περιλαμβάνονται τα κυρτά πρίσματα και αντιπρίσματα), καθώς και στα δυϊκά τους. Τα πολύεδρα αυτά έχουν άμεση σχέση με τις πλακοστρώσεις στη σφαιρική επιφάνεια, ενώ αποτελούν το γεωμετρικό υπόβαθρο σημαντικών έργων του Escher. Η διατριβή προτείνει μια μέθοδο γεωμετρικής κατασκευής τους, καθώς και μια μέθοδο υπολογισμού των μετρικών τους στοιχείων. Η τελευταία, με ελαφρά προσαρμογή, εφαρμόζεται επιτυχώς και στην περίπτωση των τεσσάρων μη κυρτών κανονικών πολυέδρων των Kepler και Poinsot. Πλευρά της διατριβής είναι και η ανάπτυξη της εφαρμογή λογισμικού TILES, η οποία παράγει τις εν λόγω πλακοστρώσεις και τις δυϊκές τους καθώς και τα εν λόγω πολύεδρα και τα δυϊκά τους. Πολλά σχήματα της διατριβής, τα οποία είναι δύσκολο ή αδύνατο να σχεδιαστούν με συμβατικές μεθόδους, έχουν προκύψει με τη βοήθεια της εφαρμογής TILES.