Ruin theory problems in simple SDE models with large deviation asymptotics

Abstract

We examine hitting probability problems regarding the behavior of simple linear stochastic differential equations with exponential boundaries, related to problems arising in risk theory and asset and liability models in pension funds.The first model we examine, in Chapter 2, is an Ornstein-Uhlenbeck (OU) process described by the Stochastic Differential Equation dX_t=μ X_t dt+σdW_t with X_0=x_0 given, where μ>0 and {W_t } is standard Brownian motion. This model arises as a diffusion approximation of risk theory models in which the free reserves earn interest. The question posed then is that of determining the probability of hitting a lower deterministic boundary curve υ_0 e^βt and/or an upper boundary curve u_0 e^αt assuming that initially the free reserves lie between these values, i.e. 0< υ_0< x_0< u_0 and that β<μ<α. Both the finite horizon "ruin probability problem'' of determining the probability of hitting the boundary within a finite horizon, and the infinite horizon probability are examined. This problem may of course be formulated in terms of a second order PDE with curved (exponential) boundaries in the plane and solved numerically. (An alternative approach involving a time change argument is also discussed briefly in Chapter 2.) The main thrust of the analysis however involves Large Deviations techniques and in particular the Wentzell-Freidlin approach in order to obtain logarithmic asymptotics for the probability of hitting either the lower or the upper boundary. These low-noise asymptotics are valid when the variance σ is small and hence the event of hitting either boundary is rare. The exponential rate characterizing this probability is obtained by solving a variational problem which also gives the "path to ruin''. We begin with a careful and detailed analysis of the finite horizon problem of hitting a lower boundary. The infinite horizon problem both for hitting the lower and the upper exponential boundary is treated using the transversality conditions approach of the calculus of variations. In addition, the OU process with a more general linear drift factor is examined, namely, the process resulting from the SDE dX_t=(μ X_t+r)dt+σdW_t with the upper exponential boundary u_0 e^αt (with 0<μ<α).We also consider, in the end of Chapter 2, the problem of two independent OU processes arising from the SDE's dX_t=α X_t dt+σdW_t, dY_t=β Y_t dt+bdV_t, X_0=x_0 , Y_0=y_0 given. Also, {W_t } and {V_t } are independent standard Brownian motions. If α>β and x_0> y_0 then, in the absence of noise, it would hold that X_t> Y_t for all t>0. We examine, again using the Wentzell-Freidlin approach, the probability that the two processes meet. The optimal paths followed by the two processes and the meeting time T is determined by solving a variational problem with transversality conditions. Interestingly, the same model when a correlation is assumed between the two Brownian motions exhibits more complicated behavior if the correlation coefficient exceeds a certain threshold. This last case is discussed in chapter 4.In Chapter 3 a corresponding problem involving a Geometric Brownian motion described by the SDE dX_t=μ X_t dt+σX_t dW_t with X_0=x_0 is examined, together with an upper and a lower exponential boundary. Again, the Wentzell-Freidlin theory is used. In this case however, an exact solution is also possible, and therefore we are able to obtain an idea of the accuracy of the logarithmic asymptotics we propose. As expected, when the variance constant σ becomes smaller, the quality of the approximation improves. The case of two correlated Geometric Brownian motions is also discussed. These models are inspired by the Gerber and Shiu model of assets and liabilities in pension funds.In Chapter 4, besides revisiting the problem of two Ornstein-Ulhenbeck processes in the presence of correlation, we also examine briefly OU processes with time-varying variance constant, arising from the SDE dX_t=μ X_t dt+σ(t)dW_t. The hitting problem we examine has a lower exponential boundary and infinite horizon. The variational problem arising from the Wentzell-Freidlin method is tractable. However, the equation giving the optimal hitting time may not have a unique solution. We solve an instance of this problem numerically in order to illustrate the approach.

Εξετάζουμε προβλήματα πιθανοτήτων σχετικά με τη συμπεριφορά απλών γραμμικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων με εκθετικά όρια, που σχετίζονται με προβλήματα που προκύπτουν στη θεωρία κινδύνου και στα μοντέλα asset και liability στα pension funds.Το πρώτο μοντέλο που εξετάζουμε, στο Κεφάλαιο 2, είναι μια διαδικασία Ornstein-Uhlenbeck (OU) που περιγράφεται από τη Στοχαστική Διαφορική Εξίσωση dX_t=μ X_t dt+σdW_t με X_0=x_0 δεδομένο, όπου μ>0 και {W_t } είναι standard κίνηση Brown. Αυτό το μοντέλο προκύπτει ως μια προσέγγιση διάχυσης των μοντέλων θεωρίας κινδύνου στα οποία τα «ελεύθερα» αποθεματικά τοκίζονται. Το ερώτημα που τίθεται είναι αυτό του προσδιορισμού της πιθανότητας η διαδικασία να «χτυπήσει/συναντήσει» μια κάτω ντετερμινιστική καμπύλη υ_0 e^βt ή/και μια άνω καμπύλη u_0 e^αt, υποθέτοντας αρχικά ότι τα «ελεύθερα» αποθέματα βρίσκονται μεταξύ αυτών των τιμών, δηλ. 0< υ_0< x_0< u_0 και ότι β<μ<α. Εξετάζονται τόσο το «πρόβλημα πιθανοτήτων καταστροφής» του πεπερασμένου ορίζοντα για τον προσδιορισμό της πιθανότητας πρόσκρουσης στο όριο εντός ενός πεπερασμένου ορίζοντα, όσο και η πιθανότητα άπειρου ορίζοντα. Αυτό το πρόβλημα μπορεί φυσικά να διατυπωθεί με όρους PDE δεύτερης τάξης με καμπύλα (εκθετικά) όρια στο επίπεδο και να λυθεί αριθμητικά. (Μια εναλλακτική προσέγγιση που περιλαμβάνει ένα επιχείρημα αλλαγής χρόνου (time change argument)αναφέρεται εν συντομία στο Κεφάλαιο 2.) Το κύριο μέρος της ανάλυσης περιλαμβάνει τεχνικές Large Deviations και ειδικότερα την προσέγγιση των Wentzell-Freidlin προκειμένου να ληφθούν λογαριθμικές ασυμπτωτικές για την πιθανότητα «πρόσκρουσης» είτε του κάτω είτε του άνω ορίου. Οι ασυμπτωτικές χαμηλού θορύβου ισχύουν όταν η διακύμανση σ είναι μικρή και ως εκ τούτου το γεγονός να χτυπήσει οποιοδήποτε όριο είναι σπάνιο. Ο εκθετικός ρυθμός που χαρακτηρίζει την πιθανότητα προκύπτει με την επίλυση ενός variational προβλήματος το οποίο δίνει επίσης το «μονοπάτι προς την καταστροφή». Ξεκινάμε με μια προσεκτική και λεπτομερή ανάλυση του προβλήματος του πεπερασμένου ορίζοντα της πρόσκρουσης σε ένα κατώτερο όριο. Το πρόβλημα του άπειρου ορίζοντα τόσο για το «χτύπημα» του κάτω όσο και του άνω εκθετικού ορίου αντιμετωπίζεται χρησιμοποιώντας την προσέγγιση των transversality conditions του λογισμού μεταβολών. Επιπλέον, εξετάζεται η διαδικασία OU με γενικότερο συντελεστή γραμμικής μετατόπισης, δηλαδή η διαδικασία που προκύπτει από την SDE dX_t=(μ X_t+r)dt+σdW_t με το άνω εκθετικό όριο u_0 e^αt (με 0<μ<α).Θεωρούμε επίσης, στο τέλος του Κεφαλαίου 2, το πρόβλημα δύο ανεξάρτητων OU διαδικασιών που προκύπτουν από τα SDEs dX_t=α X_t dt+σdW_t, dY_t=β Y_t dt+bdV_t, με δεδομένα X_0=x_0 , Y_0=y_0 . Επίσης, οι {W_t } και {V_t } είναι ανεξάρτητες κινήσεις Brown. Αν α>β και x_0> y_0 τότε, στην απουσία θορύβου, θα ισχύει ότι X_t> Y_t για όλα τα t>0. Εξετάζουμε, την πιθανότητα να συναντηθούν οι δύο διαδικασίες χρησιμοποιώντας ξανά την προσέγγιση των Wentzell-Freidlin. Οι βέλτιστες διαδρομές που ακολουθούνται από τις δύο διαδικασίες και ο χρόνος συνάντησης T καθορίζονται με την επίλυση ενός variational προβλήματος χρησιμοποιώντας transversality conditions. Είναι ενδιαφέρον ότι το ίδιο μοντέλο όταν θεωρήσουμε μια συσχέτιση μεταξύ των δύο κινήσεων Brown παρουσιάζει πιο περίπλοκη συμπεριφορά εάν ο συντελεστής συσχέτισης υπερβαίνει ένα ορισμένο όριο. Αυτή η τελευταία περίπτωση συζητείται στο κεφάλαιο 4.Στο Κεφάλαιο 3 εξετάζεται ένα αντίστοιχο πρόβλημα που περιλαμβάνει μια Γεωμετρική κίνηση Brown που περιγράφεται από τη SDE dX_t=μ X_t dt+σX_t dW_t με X_0=x_0 , μαζί με ένα άνω και ένα κάτω εκθετικό όριο. Και πάλι, χρησιμοποιείται η θεωρία των Wentzell-Freidlin. Σε αυτήν την περίπτωση, ωστόσο, μια ακριβής λύση είναι δυνατή, και επομένως μπορούμε να αποκτήσουμε μια ιδέα για την ακρίβεια των λογαριθμικών ασυμπτωτικών που προτείνουμε. Όπως αναμενόταν, όταν η διακύμανση σ γίνει μικρότερη, η εκτίμηση βελτιώνεται. Αναφέρεται επίσης η περίπτωση δύο συσχετιζόμενων γεωμετρικών κινήσεων Brown. Αυτά τα μοντέλα είναι εμπνευσμένα από το μοντέλο των Gerber και Shiu για τα assets & liabilities στα pension funds.Στο Κεφάλαιο 4, εκτός από την επανεξέταση του προβλήματος δύο διαδικασιών Ornstein-Ulhenbeck με την παρουσία συσχέτισης, εξετάζουμε επίσης εν συντομία διαδικασίες OU με χρονικά μεταβαλλόμενη διακύμανση, που προκύπτουν από την SDE dX_t=μ X_t dt+σ(t)dW_t . Το πρόβλημα «πρόσκρουσης» που εξετάζουμε έχει κάτω εκθετικό όριο και άπειρο ορίζοντα. Το πρόβλημα μεταβλητότητας που προκύπτει από τη μέθοδο Wentzell-Freidlin είναι επιλύσιμο. Ωστόσο, η εξίσωση που δίνει τον βέλτιστο χρόνο «πρόσκρουσης» μπορεί να μην έχει μοναδική λύση. Επιλύουμε ένα παράδειγμα αυτού του προβλήματος αριθμητικά για να επεξηγήσουμε την προσέγγιση.