Πιθανοτική μελέτη του τμήματος συγκέντρωσης ροών σε δυαδικές ακολουθίες

Abstract

We consider a finite sequence of binary (failure - success) random variables (RVs). The sequence's elements (RVs) are assumed to be independent (identical/nonidentical) or dependent (exchangeable or homogeneous/nonhomogeneous Markov dependent). The aim of the present Ph.D. thesis is the probabilistic study of the minimum sequence's segment in which all runs of successes with length greater than or equal to a fixed size (i.e. a threashold length) are concentrated. In order to probabilisticaly locate and describe the concentration segment, we define run statistics (RVs) relative to it. The statistics represent the number of success runs, the number of successes in the success runs, the length of the longest success run, and the length of the segment and the position (starting/ending) of it in the sequence. The first four RVs are univariate and the fifth is a bivariate one. In addition, we define a trivariate RV having as its components the counting successes and runs of successes RVs and the length of the concentration segment. In the thesis, the conditional probability mass functions of the last three RVs are established, for the first time, given that the number of success runs in the sequence is at least two. This treatment involves all the prementioned RVs. Exact expressions for probabilities and probability functions are obtained in the form of recursive schemes and sums involving binomial coefficients. In deriving the expressions we take into account the particular characteristics of the internal structure of the examined binary sequences as well as the definition of the RVs on such sequences. The thesis contains six chapters which are classified into three parts (A, B and Γ). Each part consists of two chapters having a common feature. More specifically, the thesis is organized as follows. Part A comprises Chapters 1 and 2. Chapter 1 mainly concerns with preliminary concepts and definitions. They refer to probability models (random sources), along with their interrelations, appropriate for describing the internal structure of a sequence of independent or dependent binary RVs. Statistics, relevant to the subject matter of the thesis, are formally defined in Chapter 2. A motivation for their usefulness is also discussed. As it was mentioned above, the statistics enumerate successes and success runs in the sequence, denote the length and the position of the sequence's segment containing runs of successes and they jointly describe the number of success runs, the number of successes in these runs and the length of the concentration segment of the success runs in the sequence. The probabilistic treatment of the statistics presented in Chapter 2 and defined on binary sequences discussed in Chapter 1 is the subject of Part B comprising Chapters 3 and 4. In Chapter 3, the number of success runs of length greater than or equal to a fixed length is examined. Chapter 4 deals with the segment of the concentration of such success runs in the sequence. More specifically, in Sections 4.1, 4.2 and 4.3, we obtain results referring to the length of the concentration segment, the position of this segment in the sequence and how the number of success runs, the number of successes in these runs and the length of their concentration segment in the sequence are jointly distributed, respectively. The theoretical results are further illustrated via indicative numerical examples. The applicability of the material developed in Parts A and B is clarified in Part Γ. The latter part comprises Chapters 5 and 6. Chapter 5 provides a detailed numerical study, accompanied by a discussion on its findings, of the probabilities and probability functions derived in Part B. Potential applications along with extensive and illustrative numerics are presented in Chapter 6. The vast majority of the thesis' results are new. Part of these is published (is under publication) in the papers of Makri et al. (2015) and Arapis et al. (2016a, 2017a, 2017b).

Θεωρούμε μια πεπερασμένου μήκους ακολουθία δυαδικών (αποτυχία - επιτυχία) τυχαίων μεταβλητών. Τα στοιχεία της ακολουθίας θεωρούνται ανεξάρτητα (ισόνομα ή μη) ή εξαρτημένα (ανταλλάξιμα ή με ομογενή/μη ομογενή Μαρκοβιανή εξάρτηση) μεταξύ τους.Αντικείμενο της διατριβής είναι η πιθανοτική μελέτη του μικρότερου τμήματος της δυαδικής ακολουθίας στο οποίο συγκεντρώνονται όλες οι ροές επιτυχιών με μήκος που υπερβαίνει ένα συγκεκριμένο μέγεθος (κατώφλι). Για την περιγραφή του τμήματος συγκέντρωσης ορίζονται τυχαίες μεταβλητές, οι οποίες παριστάνουν τον αριθμό των ροών επιτυχιών, τον αριθμό των επιτυχιών στις ροές αυτές, το μήκος της μεγαλύτερης ροής επιτυχιών, το μήκος και τη θέση (αρχή και τέλος) του τμήματος συγκέντρωσης των ροών καθώς και την πολυδιάστατη τυχαία μεταβλητή με συνιστώσες τις τυχαίες μεταβλητές απαρίθμησης επιτυχιών και ροών επιτυχιών και εκείνης που παριστά το μήκος του τμήματος συγκέντρωσης. Υπό τη συνθήκη ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο ροές επιτυχιών στην ακολουθία, προσδιορίζονται οι δεσμευμένες συναρτήσεις πιθανότητας των τριών τελευταίων τυχαίων μεταβλητών που προαναφέρθησαν. Εκφράσεις πιθανοτήτων και συναρτήσεων πιθανότητας βρίσκονται μέσω συνδυαστικής ανάλυσης και αναδρομικών σχέσεων, αξιοποιώντας τον ορισμό των τυχαίων μεταβλητών και τη δομή των ακολουθιών που εξετάζουμε. Η διατριβή χωρίζεται σε έξι κεφάλαια τα οποία ομαδοποιούνται σε τρεις ενότητες. Προκαταρκτικές έννοιες και ορισμοί αναφορικά με τα πιθανοτικά πρότυπα, ανεξαρτησίας ή εξάρτησης, ακολουθιών δυαδικών τυχαίων μεταβλητών καθώς και τις σχέσεις μεταξύ τους περιγράφονται στο Κεφάλαιο 1. Στο Κεφάλαιο 2 ορίζονται και σχολιάζονται στατιστικές συναρτήσεις απαρίθμησης και συγκέντρωσης επιτυχιών και ροών επιτυχιών σε ακολουθίες δυαδικών τυχαίων μεταβλητών. Τα δύο αυτά κεφάλαια αποτελούν την Ενότητα Α. Η πιθανοτική μελέτη της απαρίθμησης και της συγκέντρωσης ροών επιτυχιών σε ακολουθίες δυαδικών τυχαίων μεταβλητών, με διάφορες εσωτερικές δομές, αναπτύσσεται στην Ενότητα Β. Η ενότητα αυτή χωρίζεται στο Κεφάλαιο 3, όπου εξετάζεται η απαρίθμηση των ροών επιτυχιών με μήκος το οποίο υπερβαίνει ένα συγκεκριμένο μέγεθος και το Κεφάλαιο 4, όπου μελετάται το τμήμα συγκέντρωσης των ροών αυτών. Αποτελέσματα που αφορούν το μήκος του τμήματος συγκέντρωσης, την (τυχαία) θέση του στη δυαδική ακολουθία και την από κοινού περιγραφή του αριθμού των επιτυχιών, του αριθμού των ροών επιτυχιών και του μήκους του τμήματος συγκέντρωσης, παρουσιάζονται στις παραγράφους 4.1, 4.2 και 4.3, αντίστοιχα. Τα αποτελέσματα αυτά συνοδεύονται με βοηθητικά - ενδεικτικά αριθμητικά παραδείγματα. Η Ενότητα Γ αποτελείται από τα Κεφάλαια 5 και 6. Στο Κεφάλαιο 5 γίνεται μια λεπτομερής μελέτη και σχολιασμός αριθμητικών αποτελεσμάτων σχετικών με τη συμπεριφορά των πιθανοτήτων και των συναρτήσεων πιθανότητας που προσδιορίσθηκαν στην Ενότητα Β.Δυνητικές εφαρμογές, σε διάφορα επιστημονικά πεδία, για ενδεικτικά πρότυπα ακολουθιών ανεξάρτητης και εξαρτημένης δομής, προτείνονται στο Κεφάλαιο 6. Οι εφαρμογές αυτές αξιοποιούν τα θεωρητικά αποτελέσματα των Ενοτήτων Α και Β. Η πλειοψηφία των αποτελεσμάτων που παρουσιάζονται στη διατριβή είναι νέα και έχουν συμπεριληφθεί σε δημοσιευμένες ή υπό δημοσίευση ή σε υποβληθείσες προς δημοσίευση εργασίες, σε διεθνή περιοδικά και σε πρακτικά συνεδρίων.Ενδεικτικά αναφέρουμε τις εργασίες: Makri et al. (2015)και Arapis et al. (2016a, 2017a, 2017b).