Ο τελεστής μακρινού πεδίου στην επίλυση αντίστροφων προβλημάτων σκέδασης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε χειρόμορφα μέσα

Abstract

In the present dissertation, we study time harmonic electromagnetic scattering problems in chiral media.In the first chapter, we introduce chirality to the time harmonic Maxwell equations via the Drude-Born-Fedorov constitutive relations. We study the Bohren transformation and we express the electromagnetic field as a linear combination of a left circularly polarized and a right circularly polarized Beltrami field. In the second chapter, we define appropriate chiral tangential spaces on which the chiral far-field operator is defined. We state and prove a general scattering theorem for a perfect conductor or a chiral dielectric with constant physical parameters or a scatterer with an impedance surface. Using the general scattering theorem we prove for the case of the perfect conductor and the chiral dielectric that the chiral far-field operator is normal. We also prove that this operator is one to one and has dense range for the perfect conductor.In the third chapter, we study the well posedness of a mixed scattering problem, that is a chiral dielectric with a perfectly conductive core in a chiral environment. We prove uniqueness of the solution via Rellich's lemma for chiral media. Using the chiral Calderon operator and the Riesz-Fredholm theory, we prove existence of the solution. We also prove mixed scattering theorems considering plane and spherical incidence.Finally, in the fourth chapter we study the solvability of the scattering problem that is consisted of two chiral dielectric layers and a perfectly conductive core. We extend our results to a piece wise homogeneous chiral scatterer that covers a wide region of applications.

Στη παρούσα διδακτορική διατριβή μελετάμε προβλήματα σκέδασης αρμονικά χρονικά εξαρτώμενων ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων που οφείλονται είτε σε χειρόμορφο μέσο διάδοσης είτε σε χειρόμορφο εμπόδιο.Στο πρώτο κεφάλαιο εισάγουμε τη παράμετρο της χειρομορφίας στις αρμονικά χρονικά εξαρτώμενες εξισώσεις Maxwell μέσω των καταστατικών εξισώσεων Drude-Born-Fedorov. Στη συνέχεια εισάγουμε το μετασχηματισμό Bohren και αναλύουμε το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο μέσω των πεδίων Beltrami , σε μία αριστερόστροφα κυκλικά πολωμένη και μία δεξιόστροφα κυκλικά πολωμένη συνιστώσα.Στο δεύτερο κεφάλαιο ορίζουμε χειρόμορφους εφαπτομενικούς χώρους στους οποίους ορίζεται ο χειρόμορφος τελεστής μακρινού πεδίου. Διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε ένα γενικό θεώρημα σκέδασης για το πρόβλημα σκέδασης του τέλειου αγωγού και το χειρόμορφο διηλεκτρικό με πραγματικές φυσικές παραμέτρους μέσω του οποίου αποδεικνύουμε ότι ο χειρόμορφος τελεστής μακρινού πεδίου είναι normal. Επιπλέον, αποδεικνύουμε ότι είναι ένα προς ένα και ότι έχει πυκνό σύνολο τιμών για τον τέλειο αγωγό.Στο τρίτο κεφάλαιο μελετάμε την καλή τοποθέτηση ενός μεικτού προβλήματος σκέδασης. Ο σκεδαστής είναι ένα χειρόμορφο διηλεκτρικό με τέλεια αγώγιμο πυρήνα στο εσωτερικό του. Για την απόδειξη της μοναδικότητας λύσης εφαρμόζουμε ένα θεώρημα τύπου Rellich για τα χειρόμορφα μέσα. Η μελέτη της ύπαρξης λύσης γίνεται μέσω του χειρόμορφου τελεστή Calderon και της θεωρίας Riesz-Fredholm. Γι'αυτό το πρόβλημα σκέδασης αποδεικνύουμε θεωρήματα σκέδασης για επίπεδα και σφαιρικά κύματα.Στο τέταρτο κεφάλαιο μελετάμε την καλή τοποθέτηση ενός κατά τμήματα ομογενούς χειρόμορφου σκεδαστή το οποίο εμφανίζεται σε πολλές εφαρμογές και περιγράφεται από κατά τμήματα σταθερές φυσικές παραμέτρους. Τέλος, η μελέτη επεκτείνεται σε ένα σκεδαστή με N στρώματα.