Ύπαρξη λύσης μερικών διαφορικών εξισώσεων σε χώρους Sobolev

Abstract

The aim of this thesis is to study the existence of f solutions of partial differential equations and systems of the them. The study of these problems are very important to physics, maths and technological sciences. The methods of solving these problems used in this study are varational and topological. All of the problems examined here deal with the p-laplace operator . The equations that involve the p-laplace operator has a wide range of applications in physics and related sciences like chemical reaction design, biophysics and plasma physics. This operator appears in models which describe a variety of phenomena in nature including:

(i) Fluid dynamics. (ii) Flow through porous media (for instance in flow through rock filled dams). (iii) Nonlinear elasticity. (iv) Glaciology. (v) Image restoration. (vi) electrorheological fluids (vii) image restoration. (viii) nonlinear Darcy’s law in porous medium .

We are looking for solutions of the specific pdes in Sobolev spaces.

Αντικείμενο αυτής της διατριβής είναι η μελέτη ύπαρξης λύσεων διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους και συστημάτων τους. Η μελέτη των προβλημάτων αυτών παίζει ένα πολύ σημαντικό ρόλο στις φυσικομαθηματικές και τεχνολογικές επιστήμες. Οι μέθοδοι επίλυσης των προβλημάτων αυτών που χρησιμοποιούνται στην εργασία αυτή είναι Μεταβολικές και Τοπολογικές. Όλα τα προβλήματα που εξετάζονται εδώ σχετίζονται με τον τελεστή p-Laplace Δpu . Οι εξισώσεις που περιλαμβάνουν τον τελεστή p-Laplace χρησιμοποιούνται για την μοντελοποίηση φυσικών φαινομένων όπως τη ροή των ρευστών, Νευτώνειων και μη-Νευτώνειων, ροή πορωδών μέσων, μη-γραμμική ελαστικότητα, glaciology, αποκατάσταση εικόνας, χημικές αντιδράσεις, ανάπτυξη πληθυσμών και άλλα. Αναζητούμε λύσεις των υπό μελέτη διαφορικών εξισώσεων στους χώρους Sobolev, οι οποίοι περιέχουν συναρτήσεις με γενικευμένη παράγωγο οπότε αποτελούν τους πλέον κατάλληλους χώρους για την μεταβολική διατύπωση προβλημάτων συνοριακών τιμών.