Martingale - ισοδύναμες κατανομές πιθανότητας με εφαρμογές στις αρχές υπολογισμού ασφαλίστρου

Abstract

A positive answer to the problem of characterizing martingale-equivalent compound mixed Poisson processes becomes here possible, generalizing in this way a corresponding result of Delbaen & Haezendonk (1989) for compound Poisson processes. Some applications to the theory of premium calculation principles are then obtained.For solving the above problem, the structural role of disintegrations in mixed stochastic processes is studied first. As a result, the reduction of conditional independence to the ordinary one follows for a wide class of stochastic processes, under a proper change of measure. The reduction of conditional identically distributed processes to ordinary ones is obtained in a similar way. As a consequence, some characterizations of mixed Poisson processes as well as of mixed renewal processes are derived. In particular, further characterizations in terms of exchangeability and of different types of disintegrations are given for mixed renewal processes, providing among others an extension of de Finetti’s Theorem.In addition, a new method of constructing mixed renewal processes, including the construction of mixed Poisson processes as a special case, is presented. Based on the latter results, some concrete examples of constructing such processes are given and the corresponding disintegrating measures are computed. Finally, possible applications of our main characterization to premium calculation principles as well as to other problems related to insurance and finance are investigated.

Μια θετική απάντηση στο πρόβλημα του χαρακτηρισμού των martingale-ισοδύναμων σύνθετων μεμειγμένων διαδικασιών Poisson καθίσταται εδώ δυνατή, γενικεύοντας ένα ανάλογο αποτέλεσμα των Delbaen & Haezendonk (1989) για σύνθετες διαδικασίες Poisson. Ως επακόλουθο, προκύπτουν εφαρμογές στη θεωρία αρχών υπολογισμού ασφαλίστρου.Για την επίλυση του παραπάνω προβλήματος, θεωρήθηκε αρχικά αναγκαία η μελέτη του δομικού ρόλου των disintegrations στις μεμειγμένες στοχαστικές διαδικασίες, από την οποία προκύπτει η αναγωγή της δεσμευμένης ανεξαρτησίας σε συνήθη (μη δεσμευμένη) για μια ευρεία κλάση στοχαστικών διαδικασιών, μέσω μιας κατάλληλης αλλαγής του μέτρου πιθανότητας. Ένα ανάλογο αποτέλεσμα εξασφαλίζεται για τη δεσμευμένη ισονομία. Ως συνέπεια, εξάγονται κάποιοι χαρακτηρισμοί των μεμειγμένων διαδικασιών Poisson και των μεμειγμένων ανανεωτικών διαδικασιών. Ιδιαιτέρως για τις δεύτερες, κι αφού πρώτα αποδειχθεί μια νέα επέκταση του Θεωρήματος de Finetti για ανταλλάξιμες στοχαστικές διαδικασίες, δίνονται περαιτέρω χαρακτηρισμοί τους μέσω της έννοιας της ανταλλαξιμότητας και διαφόρων τύπων disintegrations.Επίσης παρουσιάζεται μια νέα μέθοδος κατασκευής μεμειγμένων ανανεωτικών διαδικασιών, που περιλαμβάνει ως ειδική περίπτωση εκείνη των μεμειγμένων διαδικασιών Poisson, βάσει της οποίας δίνονται συγκεκριμένα κατασκευαστικά παραδείγματα τέτοιων διαδικασιών και καθίσταται δυνατός ο ακριβής υπολογισμός των αντίστοιχων disintegrations. Τέλος, διερευνώνται εφαρμογές του κεντρικού μας χαρακτηρισμού στις αρχές υπολογισμού ασφαλίστρου και σε άλλα σχετικά χρηματασφαλιστικά προβλήματα.