Φασματική ανάλυση στην εμφύτευση κανονικών πινάκων

Abstract

A matrix B ∈ C(n−k)×(n−k) is called imbeddable in A ∈ n×n, if there exist an isometry V ∈ C n×(n−k) (V*V - In−k such that V*AV = B. In this thesis, we introduce the following inverse numerical range problem given μ1, μn−k ∈ w (A), does there exist an isometry V, such that diag {μj}n−k j=1 = V*AV. If so, construct such a V. The condition for existence in the case of Hermitian matrices are the well-known interlacing inequalities. Initially, a new proof of interlacing inequalities for k = 1 is given, from which a geometric profile of V appears. Further, two independent methods for the construction in the case k > 1 are provided. For normal matrices, we study the case of imbeddable A and B with collinear eigenvalues. Moreover, links between the necessary imbedding conditions of Queiro-Duarte and Carlson-de Sa are provided. In particular, we give an answer to a problem concerning the geometric configuration of complex numbers satisfying the conditions of Queiro-Duarte in the case of convexly independent sets. A new set of necessary and sufficient conditions for the existence of an isometry V is presented, in the case B is imbeddable in A, in terms of the real and imaginary parts of their eigenvalues. These conditions are quite technical, but nonetheless are used to disprove a natural conjecture concerning the sufficiency, the conditions of Queiro-Duarte. Given a normal matrix A ∈ Cn×n and μ1 ∈ w(A)\σ(A), the minimum integer 1 ≤ k < n, is determined, such that the relationship V∗AV = diag {μ1, μ2, . . . , μn−k} for suitable μ2, . . . , μn−k ∈ w(A)\σ(A) and an isometry V. Furthermore, a recursive procedure to construct V is proposed. Finally, variational principles for eigenfunctions of a self-adjoint, analytic matrix function Ρ(λ) ∈ Cn×n of a real parameter λ ∈ R are presented. The variational principles are then connected with the classical variational formulae for eigenvalues of Hermitian matrices and are applied to yield extremal characterizations for eigenvalues of hyperbolic polynomial matrices.

Ο πίνακας B ∈ C(n−k)×(n−k καλείται εμφυτεύσιμος στον A ∈ Cn×n, ακριβώς όταν υπάρχει ισομετρία V ∈ Cn×(n−k) (V*V - In−k ώστε V*AV = B. Στη διατριβή εισάγουμε το ακόλουθο αντίστροφο πρόβλημα του αριθμητικού πεδίου, δοθέντων μ1, μn−k ∈ w (A), να εξεταστεί η ύπαρξη ισομετρίας V, τέτοιας ώστε diag {μj}n−k j=1 = V*AV και να κατασκευαστεί στην περίπτωση που υπάρχει. Είναι γνωστό πως η συνθήκη στην περίπτωση ερμιτιανών πινάκων είναι ο διαχωρισμός ιδιοτιμών. Μια καινούρια απόδειξη του διαχωρισμού ιδιοτιμών παρουσιάζεται, μέσω της οποίας προκύπτει ένα γεωμετρικό προφίλ για τη V, όταν k = 1. Για k > 1 παρουσιάζονται δύο ανεξάρτητες μέθοδοι για την κατασκευή του V. Για κανονικούς πίνακες, μελετάμε την περίπτωση εμφυτεύσιμων πινάκων Α και Β με συνευθειακές ιδιοτιμές. Επίσης παρουσιάζεται η αλληλοεξάρτηση μεταξύ των αναγκαίων συνθηκών εμφύτευσης των Queiro-Duarte και Carlson-de Sa. Ειδικότερα, μελετάται η γεωμετρική κατανομή μιγαδικών που ικανοποιούν τις συνθήκες των Queiro-Duarte, στην περίπτωση κυρτών ανεξάρτητων συνόλων. Επίσης, διατυπώνονται ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την εμφύτευση του Β στον Α ως προς τα πραγματικά και φανταστικά μέρη των ιδιοτιμών τους. Οι συνθήκες αυτές οδηγούν στο ότι οι συνθήκες των Queiro-Duarte δεν είναι ικανές. Δοθέντος A ∈ Cn×n κανονικού πίνακα και μ1 ∈ w(A)\σ(A), καθορίζεται ο ελάχιστος ακέραιος 1 ≤ k < n, ώστε η σχέση V∗AV = diag {μ1, μ2, . . . , μn−k} να ισχύει για κατάλληλα μ2, . . . , μn−k ∈ w(A)\σ(A) και ισομετρία V. Επιπλέον, προτείνεται μία αναδρομική διαδικασία για την κατασκευή και της εν λόγω ισομετρίας. Τέλος για αναλυτικές, αυτοσυζυγείς συναρτήσεις πινάκων Ρ(λ) ∈ Cn×n πραγματικής μεταβλητής λ ∈ R, παρουσιάζεται θεωρία αρχών μεταβολών για τις ιδιοσυναρτήσεις τους. Οι αρχές μεταβολής για ιδιοσυναρτήσεις συνδέονται στη συνέχεια με τις κλασικές αρχές μεταβολής για ιδιοτιμές ερμιτιανών πινάκων και εφαρμόζονται για να δώσουν χαρακτηρισμούς ακροτάτων για ιδιοτιμές υπερβολικών πολυωνυμικών πινάκων.