Ανωτέρου βαθμού αριθμητικά πεδία μη αρνητικών πινάκων και πολυωνυμικών πινάκων

Abstract

In quantum computing, information is stored in quantum bits and transmitted through an quantum channel. In the context of this theory, researchers defined the k-rank numerical range of an nxn complex matrix a by the set Λκ(α)={λ∈c: pap=p for some k-rank orthogonal projection ρ}. The set is convex and compact and for k=1 is reduced to the classical numerical range f(a). in this dissertation, λκ(α) is proved to coincide with an indefinite intersection of numerical ranges of all the compressions of a to (n-k+1)-dimensional subspaces, whereupon after some further elaboration is proved that a countable family of nx(n-k+1) isometries is enough. These equalities provide equivalent characterizations of the k-rank numerical radii. in addition, we study λκ(α) in case of nonnegative matrices with multiple eigenvalues of maximum modulus. Their number is proved to coincide with that of the elements of λκ(α) with maximum modulus, although their direction differs. we also extend the definition to matrix polynomials l(λ) by the set Λκ(l(λ))={λ∈c: pl(λ)p=0 for k-rank orthogonal projection p} And investigate its fundamental algebraic and geometric properties. We present necessary and sufficient conditions for its boundedness and prove that it has at most 2m connected components, where m is the degree of l(λ). Further, we study the sharp points of the set. moreover, the q-numerical range of square and rectangular matrices is defined, generalizing the algebraic numerical range. Finally, two alternative definitions of numerical range for rectangular matrices are proposed via the orthogonal projection onto subspaces of suitable dimension.

Στον κβαντικο προγραμματισμο, η πληροφορια αποθηκευεται με τη μορφη κβαντικων ψηφιων και στη συνεχεια μεταδιδεται μεσω ενος κβαντικου καναλιου. Η θεωρια αυτη οδηγησε τους ερευνητες στον ορισμο του κ-βαθμου αριθμητικου πεδιου ενος νxν μιγαδικου πινακα α ως το συνολο λκ(α)={λ∈c: pap=p για κ-βαθμου ορθογωνια προβολη ρ}. Το συνολο αυτο ειναι κυρτο και συμπαγες και για κ=1 ταυτιζεται με το κλασικο αριθμητικο πεδιο f(a). στην παρουσα διατριβη αποδεικνυεται οτι το λκ(α) ισουται με την απειρη τομη των αριθμητικων πεδιων ολων των συστολων του πινακα α σε (ν-κ+1)-διαστατους υποχωρους, ενω με περαιτερω επεξεργασια της τομης αυτης συμπεραινουμε οτι αρκει μια αριθμησιμη οικογενεια νx(ν-κ+1) ισομετριων. Οι ισοτητες μας οδηγουν σε ισοδυναμους χαρακτηρισμους των κ-βαθμου αριθμητικων ακτινων του λκ(α) δινοντας μια εκτιμηση τους. Παραλληλα, διαπραγματευομαστε το λκ(α) στην περιπτωση των μη αρνητικων πινακων με πολλαπλες ιδιοτιμες μεγιστου μετρου. Αποδεικνυουμε οτι το πληθος των σημειων του συνολου με τη μεγαλυτερη αποσταση απο την αρχη διατηρειται ιδιος με το πληθος των μεγιστων ιδιοτιμων του, ενω η κατευθυνση τους διαφερει. επεκτεινουμε τον ορισμο στους πολυωνυμικους πινακες l(λ) ως λκ(l(λ))={λ∈c: pl(λ)p=0 για κ-βαθμου ορθογ. Προβολη ρ} και μελεταμε θεμελιωδεις αλγεβρικες και γεωμετρικες του ιδιοτητες. Παρουσιαζουμε ικανες και αναγκαιες συνθηκες για το φραγμενο του συνολου καθως επισης δειχνουμε οτι ο αριθμος των συνεκτικων συνιστωσων του λκ(l(λ)) δεν ξεπερναει τον αριθμο 2m, οπου m ειναι ο βαθμος του l(λ). Επισης, ερευναμε και τα γωνιακα του σημεια. επιπλεον, γενικευοντας το αλγεβρικο αριθμητικο πεδιο οριζουμε το q-αριθμητικο πεδιο τετραγωνικων, αλλα και μη τετραγωνικων πινακων. Τελος, προτεινουμε δυο εναλλακτικους ορισμους για το αριθμητικο πεδιο μη τετραγωνικων πινακων μεσω της εννοιας της ορθογωνιας προβολης σε υποχωρο καταλληλης διαστασης.