Λύσεις ελλειπτικών συστημάτων με μικτές συνοριακές συνθήκες

Abstract

The aim of the present thesis was the construction and the study of solutions to elliptic systems of partial differential equations which satisfy the mixed boundary conditions for polyhedrical domains of a Euclidean space. We first examined nonlinear elliptic systems when the potential is invariant under a discrete reflection group, and we constructed positive solutions which satisfy the mixed boundary conditions for the fundamental region of the group. We proved an estimate for the solutions and also studied their limits as the size of the fundamental region in space domain, goes to 0 or infinity. In the second part of the thesis, we focused on harmonic maps on the plane. Given two polygons with the same number of sides, we proved the existence of a unique harmonic map which satisfies the mixed boundary conditions for these polygons. The aforementioned solution is characterized as the only minimizer of the Dirichlet energy in the class of maps which satisfy the first mixed boundary condition. Next, we discussed the corresponding problem for smooth domains of the plane and we answered the question of uniqueness of solutions. Finally, we stated the Hamiltonian identity and Pohozaev identity for the solutions of elliptic systems which satisfy the mixed boundary conditions.

Σκοπός της διατριβής ήταν η κατασκευή και η μελέτη λύσεων ελλειπτικών συστημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων που ικανοποιούν τις μικτές συνοριακές συνθήκες για πολυεδρικά χωρία ενός Ευκλειδείου χώρου. Εξετάσαμε πρώτα μη γραμμικά ελλειπτικά συστήματα όταν το δυναμικό είναι αναλλοίωτο ως προς μια διακριτή ομάδα ανακλάσεων, και κατασκευάσαμε θετικές λύσεις που ικανοποιούν τις μικτές συνοριακές συνθήκες για το θεμελιώδες χωρίο της ομάδας. Αποδείξαμε μια εκτίμηση των λύσεων και μελετήσαμε επίσης τα όριά τους όταν διαστέλλεται ή συστέλλεται το πλέγμα του πεδίου ορισμού. Έπειτα, επικεντρωθήκαμε στις αρμονικές απεικονίσεις στο επίπεδο. Δοθέντων δύο πολυγώνων με τον ίδιο αριθμό πλευρών, αποδείξαμε την ύπαρξη μιας μοναδικής αρμονικής απεικόνισης που ικανοποιεί τις μικτές συνοριακές συνθήκες για τα δύο πολύγωνα αυτά. Η προαναφερθείσα λύση χαρακτηρίζεται ως ο μοναδικός ελαχιστοποιητής της Dirichlet ενέργειας στην κλάση των απεικονίσεων που ικανοποιούν την πρώτη μικτή συνοριακή συνθήκη. Στη συνέχεια, εξετάσαμε το αντίστοιχο πρόβλημα για ομαλά χωρία του επιπέδου και απαντήσαμε στο ερώτημα της μοναδικότητας των λύσεων. Τέλος, διατυπώσαμε την Χαμιλτονιανή ταυτότητα και την ταυτότητα Pohozaev για τις λύσεις ελλειπτικών συστημάτων που ικανοποιούν τις μικτές συνοριακές συνθήκες.