Θέματα θεωρίας συστημάτων εξυπηρέτησης με επαναλαμβανόμενους πελάτες

Abstract

Three retrial queueing systems with the concepts of priorities and vacations are considered. In the first model there is a single server providing two phases of service in succession. Every customer receives service in the first phase and in the sequel, either proceeds immediately to the second, or joins the retrial box from where he repeats his attempt to find available the server and get a special second phase service. Whenever the server faces an empty queue, departs for a single vacation. In the second model we consider a model with a single server providing n phases of service in succession, and (n -1) types of retrial customers. Customers are placed upon arrival in a single ordinary queue. Every customer receives service in all phases and upon service completion in the i th phase, the customer either proceeds directly to the (i + 1)th phase, or joιns the ιth retrial box from where he retries independently, both from the customer in the corresponding box and from the customers from other boxes, after a random amount of time, to find a position for the (i + 1)th phase service. Moreover, every time the server faces an empty queue after a service completion epoch, departs for a single vacation. Finally, the third model accepts two lands of customers, ordinary and retrial. To start serving both types of customers, the only server needs a start up period, while when there are no ordinary customers waiting in the queue, the server performs a close down period. The ordinary customers have preemptive repeat priority, when the server performs a start up time in order to serve a retrial customer, and non-preemptive priority when the server is busy with this type of customer. During the close down period no retrial customers can access the server, while the arrival of an ordinary customer forces the server to return and prepare to serve him. Every time a close down period is successfully completed, the server departs for a single vacation. The process, describing the evolution of the first and third system is semi regenerative, by discovering a Markov renewal process on departure epochs. Using the corresponding theory, the stability conditions are investigated, while generating functions of the joint distribution of the number of customers in the ordinary queue and in the retrial box are obtained, both in transient, and in steady state using the supplementary variable technique. Performance measures are also obtained and used to derive numerical results, describing the evolution of the system. For the first model a stochastic decomposition result is also presented, while numerical results are finally obtained and used to investigate the system behavior. For the second model, the mean number of customers in the ordinary queue in steady state, is obtained in product form while the mean number of customer in each retrial box separately are also obtained, using the solution of a set of linear equations. These performance measures are used to investigate the systems performance by providing some numerical results.

Μελετώνται τρία συστήματα εξυπηρέτησης με το χαρακτηριστικό των επαναλαμβανόμενων αφίξεων ενώ περιλαμβάνονται προτεραιότητες και διακοπές υπαλλήλου. Το πρώτο μοντέλο αποτελείται από έναν υπάλληλο που παρέχει εξυπηρέτηση δύο φάσεων σε σειρά σε κάθε πελάτη που καταφθάνει στο σύστημα. Οι πελάτες τοποθετούνται σε μία ουρά και κάθε πελάτης που ολοκληρώνει τη πρώτη φάση εξυπηρέτησης είτε προωθείται άμεσα στη δεύτερη φάση είτε εισέρχεται στην ουρά των επαναλαμβανόμενων αφίξεων, απ’ όπου προσπαθεί να συνδεθεί με τον υπάλληλο για να εξυπηρετηθεί στη δεύτερη φάση. Κάθε φορά που ο υπάλληλος ελευθερώνεται αναχωρεί για απλές διακοπές. Στο δεύτερο, υπάρχει ένας υπάλληλος που παρέχει εξυπηρέτηση n φάσεων σε σειρά και (n- 1) τύπους πελατών επαναλαμβανόμενων αφίξεων. Οι πελάτες τοποθετούνται σε μια ουρά άπειρου μήκους και περιμένουν τη σειρά τους να εξυπηρετηθούν. Μετά το πέρας της i οστης φάσης εξυπηρέτησης (i = 1 n - 1) ο πελάτης, είτε προωθείται άμεσα στην (i + 1)-στη φάση, είτε εισέρχεται στην i οστη ουρά επαναλαμβανόμενων αφίξεων απ' όπου προσπαθεί να συνδεθεί με τον υπάλληλο για να λάβει την (i + 1) οστη φάση εξυπηρέτησης που του αναλογεί. Οι πελάτες της κανονικής ουράς έχουν μη διακόπτουσα προτεραιότητα έναντι αυτών που βρίσκονται στις (n - 1) ουρές επαναλαμβανόμενων αφίξεων ενώ κάθε φορά που ελευθερώνεται ο υπάλληλος αναχωρεί για απλές διακοπές. Στο τρίτο μοντέλο καταφθάνουν δύο κλάσεις πελατών ενώ περιλαμβάνει χρόνους προετοιμασίας και αποφόρτισης. Οι πελάτες κλάσεις 1 τοποθετούνται στην ουρά, ενώ η κλάσης 2 στο κουτί των επαναλαμβανόμενων αφίξεων, εφόσον δεν βρουν διαθέσιμο τον υπάλληλο. Για να αρχίσει να εξυπηρετεί έναν πελάτη οποιασδήποτε κλάσης, ο υπάλληλος χρειάζεται ένα χρόνο προετοιμασίας, ενώ κάθε φορά που δεν υπάρχουν πελάτες να περιμένουν στην κανονική ουρά, ενεργοποιεί μία περίοδο αποφόρτισης. Μόλις ολοκληρωθεί επιτυχώς η περίοδος αποφόρτισης, ο υπάλληλος αναχωρεί για απλές διακοπές. Οι πελάτες κλάσης 1 έχουν διακόπτουσα επαναληπτική προτεραιότητα, όταν η διαδικασία εξυπηρέτησης ενός πελάτη κλάσης 2 βρίσκεται σε φάση προετοιμασίας και μη διακόπτουσα προτεραιότητα όταν βρίσκεται στη φάση της άμεσης εξυπηρέτησης. Για το πρώτο και τρίτο μοντέλο με τη βοήθεια της Μαρκοβιανής θεωρίας ανανεώσεων βρέθηκε η συνθήκη στατιστικής ισορροπίας ενώ η από κοινού κατανομή του αριθμού των πελατών στην ουρά και στην ουρά των επαναλαμβανόμενων αφίξεων μελετήθηκε με τη βοήθεια της μεθόδου της συμπληρωματικής μεταβλητής τόσο σε συνεχή χρόνο, όσο και σε στατιστική ισορροπία. Υπολογίστηκαν οι πιθανότητες των καταστάσεων του υπάλληλου και οι αναμενόμενοι αριθμοί των πελατών τόσο στη κανονική ουρά όσο και στην ουρά των επαναλαμβανόμενων αφίξεων. Επιπλέον κατασκευάστηκαν πίνακες με αριθμητικά αποτελέσματα που περιγράφουν ουσιωδώς τη λειτουργία του συστήματος. Τέλος, στο πρώτο μοντέλο αποδείχθηκε ότι στο υπό μελέτη μοντέλο ισχύει η ιδιότητα της διάσπασης. Για το δεύτερο μοντέλο υπολογίστηκαν σε κλειστή μορφή οι αναμενόμενοι αριθμοί των πελατών στη κανονική ουρά, ενώ με τη επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων υπολογίστηκαν και οι αναμενόμενες τιμές των πελατών κάθε ουράς επαναλαμβανόμενων αφίξεων ξεχωριστά. Επιπλέον δόθηκαν αριθμητικά αποτελέσματα, που περιγράφουν ουσιωδώς το σύστημα.