Μαθηματική ανάλυση της έκρηξης λύσεων σε τοπικά και μη-τοπικά προβλήματα μερικών διαφορικών εξισώσεων

Abstract

In this work we study the behavior of the solutions of local and non-local semi-linear problems. In Chapter 1 we give some notations and definitions of what follows. In Chapter 2 we study the behavior of the solution of a non-local diffusion problem where we prove first local existence and uniqueness and second the blow-up of the solution. Here we use comparison techniques and Kaplan method. In Chapter 3 we study and prove the global divergence of the solution of a non-local porons medium problem at the critical value of the parameter. Here we use comparison theory and Kaplan. In the final Chapter 4 we give the blow-up of the solutions for a local filtration problem when λ > λ*.

Στην παρούσα εργασία μελετάμε τη συμπεριφορά των λύσεων τοπικών αλλά και μη τοπικών παραβολικών προβλημάτων. Ξεκινάμε με το Πρώτο Κεφάλαιο το οποίο είναι εισαγωγικό και δίνονται οι ορισμοί και οι έννοιες που θα χρησιμοποιηθούν. Στο Δεύτερο Κεφάλαιο μελετάμε τη συμπεριφορά της λύσης ενός μη-τοπικού προβλήματος διήθησης αλλά και ενός προβλήματος πορώδους μέσου όπου με μεθόδους σύγκρισης αποδεικνύουμε ύπαρξη (τοπική) και μοναδικότητα των λύσεων και στη συνέχεια με τη μέθοδο Kaplan αποδεικνύουμε έκρηξη. Στο Τρίτο Κεφάλαιο μελετάμε τη συμπεριφορά της λύσης στην κρίσιμη τιμή της παραμέτρου και αποδεικνύουμε ότι έχουμε ολική έκρηξη. Τέλος, στο Τέταρτο Κεφάλαιο δείχνουμε την έκρηξη της λύσης για το κλασσικό πρόβλημα διήθησης για τιμές της παραμέτρου πάνω από την κρίσιμη τιμή. Εδώ χρησιμοποιούμε τεχνικές σύγκρισης.