ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΩΝ

Abstract

A NEW METHOD IS GIVEN FOR CONSTRUCTING WILLIAMSON TYPE MATRICES OF ORDER 4.M, M=P.Q. AN ALGORITHM IS PRESENTED REDUCING CONSIDERABLY THE REQUIRED COMPUTATIONAL TIME AND SUITABLE WHEN M IS NOT A PRIME. ALL CIRCULANT AND SYMMETRIC (+1,-1) MATRICES A,B,C,D OF ORDER M=33=3.11 SUCH THAT A2+B2+C2+D2=4MIM ARE CONSTRUCTED.THESE ARE CALLED MATRICES OF THE WILLIAMSON TYPE. IT IS ESTABLISHED THAT THEREARE FOUR NON-EQUIVALENT HADAMARD MATRICES OF THE WILLIAMSON TYPE OF ORDER 4.33. SOME NEW METHODS ARE GIVEN FOR CONSTRUCTING T-MATRICES (AND HENCE BAUMERT-HALL ARRAYS) OF ORDER N+1, N+2, N+3, N+4, N+5, USING SPECIAL SEQUENCES OF LENGHT N. AN ALGORITHM IS DESCRIBED FOR CONSTRUCTING THE SPECIAL SEQUENCES OF ORDER N, AND THE CORRESPONDING T-MATRICES OF ALL ODD ORDER T<21 ARE GIVEN. AN INFINITE CLASS OF T-MATRICES IS CONSTRUCTED USING GOLAY SEQUENCES. A LIST IS GIVEN WITH NEW HADAMARD MATRICES OF ORDER 2TQ, Q ODD, Q<10000 IMPROVING THE KNOWN VALUES OFT. ALSO T-MATRICES ARE GIVEN OR ORDER 2M+1, FOR SMALL VALUES OF M<12 WHICH DO NOT COINCIDE WITH THOSE GENERATED BY TURYN SEQUENCES. HADAMARD MATRICES OF ORDER N (N=OMOD4) WITH MAXIMUM EXCESS Σ(N), ARE CONSTRUCTED FOR N=228,324,364,484,532,676,1092,1156, 1444,1764,2500,2604,2812,4356,5332,14884, USING BAUMERT-HALL ARRAYS AND WILLIAMSON TYPE MATRICES. FINALLY IN APPENDIX I, ALL THE KNOWN WILLIAMSON TYPE MATRICES ARE GIVEN OF ORDER M, FOR MANY VALUES OF M, AND IN APPENDIXII, THE SMALLEST T IS GIVEN, SUCH THAT AN HADAMARD MATRIX OF ORDER 2TQ EXISTS FOR Q<10000, Q ODD, AND, AS YET, NONE KNOWN FOR ORDER 2SQ, S<T.

ΟΛΟΙ ΟΙ ΚΥΚΛΙΚΟΙ ΚΑΙ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ (+1,-1) ΠΙΝΑΚΕΣ A, B, C, D ΤΑΞΗΣ Μ=33, ΕΤΣΙ ΩΣΤΕ Α2+Β2+C2+D2=4MIM, ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΟΝΤΑΙ ΑΥΤΟΙ ΟΝΟΜΑΖΟΝΤΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΤΥΠΟΥ WILLIAMSON. ΔΙΝΕΤΑΙ ΕΝΑΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΠΟΥ ΕΛΑΤΤΩΝΕΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΤΟΝ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΧΡΟΝΟ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΖΕΤΑΙ ΟΤΑΝ Ο Μ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΠΡΩΤΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ. ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΤΑΙ ΟΤΙ ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΜΗ-ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ HADAMARD ΤΥΠΟΥ WILLIAMSON ΤΑΞΗΣ 4.33. ΔΙΝΟΝΤΑΙ ΟΡΙΣΜΕΝΕΣ ΝΕΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ Τ-ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΕΠΩΣ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ BAUMERT- HALL, ΤΑΞΗΣ Ν+1, Ν+2, Ν+3, Ν+4, Ν+5, ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ΜΗΚΟΥΣ Ν. ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΤΑΙ ΕΝΑΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΑΥΤΩΝ ΤΩΝ ΕΙΔΙΚΩΝ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ΤΑΞΗΣ Ν, ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΟΝΤΑΙ Τ- ΠΙΝΑΚΕΣ ΤΑΞΗΣ Τ ΓΙΑ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΠΕΡΙΤΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τ<21. ΜΙΑ ΑΠΕΙΡΗ ΚΛΑΣΗ Τ-ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΕΤΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΤΙΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ GOLAY. ΔΙΝΕΤΑΙ ΕΝΑΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΜΕ ΤΟΥΣ ΝΕΟΥΣ ΠΙΝΑΚΕΣ HADAMARD ΤΑΞΗΣ 2TTQ, (Q ΠΕΡΙΤΤΟΣ) Q<1000, ΚΑΙ ΒΕΛΤΙΩΝΟΝΤΑΙ ΟΙ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΤΟΥ Τ. ΕΠΙΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΟΝΤΑΙ Τ- ΠΙΝΑΚΕΣ ΤΑΞΗΣ 2Μ+1, ΓΙΑ ΜΙΚΡΕΣ ΤΙΜΕΣ ΤΟΥ Μ (Μ<12), ΟΙ ΟΠΟΙΟΙ ΕΙΝΑΙ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΑΠ'ΑΥΤΟΥΣ ΠΟΥ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ΤΟΥ TURYN. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΟΝΤΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ HADAMARD ΤΑΞΗΣ Η ΜΕ ΜΕΓΙΣΤΗ ΥΠΕΡΟΧΗ Σ(Ν) ΓΙΑΝ=228,324,364,484,532,676,1092,1156, 1444,1764,2500,2604,2812,4356,5332,14884,ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ BAUMERT-HALL ΚΑΙ ΤΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ ΤΥΠΟΥ WILLIAMSON. ΤΕΛΟΣ ΣΤΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι, ΔΙΝΟΝΤΑΙ ΟΛΟΙ ΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΤΥΠΟΥ WILLIAMSON ΤΑΞΗΣ Μ, ΓΙΑ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΤΙΜΕΣ ΤΟΥ Μ, ΚΑΙ ΣΤΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ ΟΙ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τ, ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΟΠΟΙΟΥΣ ΥΠΑΡΧΕΙ ΕΝΑΣ ΠΙΝΑΚΑΣ HADAMARD ΤΑΞΗΣ 2ΤQ (Q ΠΕΡΙΤΤΟΣ, Q<10000) ΕΝΩ ΠΙΝΑΚΕΣ HADAMARD ΤΑΞΗΣ 2SQ ΓΙΑ S<T ΕΙΝΑΙ ΑΚΟΜΗ ΑΓΝΩΣΤΟΙ.