ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Abstract

ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΗΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ ΕΙΝΑΙ Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΜΗ ΥΠΑΡΞΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΕ ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΑΝΑΠΤΥΣΣΟΝΤΑΣ ΣΕ ΣΕΙΡΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗ ΔΙΑΤΑΡΑΚΤΙΚΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ Ε ΤΗΝ ΑΝΑΓΚΑΙΑ ΣΥΝΘΗΚΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΤΑΡΑΓΜΕΝΗ ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΠΟΩΝΤΑΣ ΤΗΝ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΣΕ ΟΡΟΥΣ Ε ΠΑΝΩ ΣΤΙΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ ΤΟΥ ΑΔΙΑΤΑΡΑΚΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΟΔΗΓΟΥΜΑΣΤΕ ΣΕ ΤΡΙΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ, ΤΑ ΟΠΟΙΑ ΠΑΡΕΧΟΥΝ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΜΟΤΗΤΑΣ. ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΔΙΝΕΙ ΜΙΑ ΙΚΑΝΗ ΣΥΝΘΗΚΗ ΜΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ HAMILTON ΔΥΟ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ, ΕΝΩ ΤΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΔΙΝΕΙ ΜΙΑ ΑΝΑΛΟΓΗ ΣΥΝΘΗΚΗ ΓΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ N ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΓΙ ΤΟΝ ΜΕΓΙΣΤΟ ΕΠΙΤΡΕΠΤΟ ΑΡΙΘΜΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ. ΤΟ ΤΡΙΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΝΑΦΕΡΕΤΑΙ ΣΕ ΔΙΑΤΑΡΑΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ, ΜΕ ΔΙΑΤΑΡΑΧΗ ΠΟΥ ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΑΠΟ ΤΟ ΧΡΟΝΟ . ΕΠΙΠΛΕΟΝ, ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΑΠΟ ΤΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΔΕΕΤΑΙ ΜΕ ΤΟ ΓΝΩΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ POINCARE, ΕΝΩ ΚΑΙ ΤΑ ΤΡΙΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΔΕΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗ ΣΥΝΕΧΙΣΗ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΩΝ ΤΡΟΧΙΩΝ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΤΗ ΔΙΑΤΑΡΑΧΗ, ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ POINCARE-MELNIKOV. ΤΕΛΟΣ ΓΙΝΕΤΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΙ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝΠΑΡΑΠΑΝΩ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΩΝ ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΦΥΣΙΚΗ ΣΗΜΑΣΙΑ.

THE AIM OF THIS THESIS IS TO PROVIDE CRITERIA FOR THE NON-EXISTENCE OF INTEGRALS OF MOTION IN HAMILTONIAN DYNAMICAL SYSTEMS. BY EXPANDING THE NECESSARY CONDITION FOR THE EXISTENCE OF AN INTEGRAL OF MOTION IN A PERTURBED HAMILTONIAN WITH RESPECT TO THE PERTURBATIVE PARAMETER Ε AND PARAMETRIZING THE RESULTING IDENTITY IN ORDER Ε ALONG THE PERIODIC ORBITS OF THE UNPERTURBED SYSTEM, WE DERIVE THREE THEOREMS WHICH PROVIDE NONINTEGRABILITY CRITERIA. THE FIRST THEOREMSUPPLIES A SUFFICIENT CONDITION FOR NON-INTEGRABILITY OF TWO DEGREE OF FREEDOM HAMILTONIANS, WHILE THE SECOND ONE SUPPLIES A SIMILAR CONDITION FOR HAMILTONIANS OF N DEGREES OF FREEDOM AND, IN ADDITION, A CRITERION WHICH RESTRICTS THE MAXIMUM ALLOWED NUMBER OF INTEGRALS OF MOTION. THE THIRD THEOREM REFERS TO PERTURBED ONE DEGREE OF FREEDOM SYSTEMS WITH A PERTURBATION DEPENDING PERIODICALLY ON TIME. MOREOVER, THE FIRST OF THE ABOVE THEOREMS IS RELATED TO THE WELLKNOWH NON-INTEGRABILITY THEOREM OF POINCARE, WHILE ALL THEOREMS ARE RELATED TO THE CONTINUATION OF THE PERIODIC ORBITS WITH RESPECT TO THE PERTURBATION, THROUGH THE POINCARE-MELNIKOV THEORY. FINALLY, THE ABOVE THREE CRITERIA ARE APPLIED IN PROVING NON-INTEGRABILITY OF SPECIFIC HAMILTONIANS WITH PHYSICAL INTEREST.