Stochastic models for particle energy transport in turbulent plasmas in fusion devices and in astrophysics

Abstract

This thesis investigates the interaction of charged particles (ions and electrons) with randomly formed particle scatterers, such as large-scale local magnetic fluctuations or coherent magnetic irregularities and Unstable Current Sheets (UCS), using the framework initially proposed by Enrico Fermi in 1949. These scatterers are generated by explosive magnetic energy releases, characterized by large-scale local fluctuations (with a ratio δB/B approximately 1, where δB represents the magnetic disturbance, and B the ambient magnetic field). They are randomly distributed within an unstable magnetic topology. Chapter 2 focuses on propagating magnetic disturbances called Alfvénic Scatterers (AS). A three-dimensional grid is constructed, in which a small fraction of randomly selected points act as AS. The Chapter examines the evolution of many test particles interacting with these scatterers, analyzing their energy distribution and escape time. By applying a well-established method to determine transport coefficients from particle trajectories, the Chapter demonstrates how numerically solving the Fokker-Planck (FP) equation can recover the particles' energy distribution. The study shows that Stochastic Fermi Energization (SFE) of mildly relativistic and relativistic plasma can effectively heat and accelerate the ambient particle population's tail, in agreement with predictions by Parker (1958) and Ramaty (1979). The temperature of the hot plasma and the energetic particle distribution depend on the mean free path λ of the particles between scatterers within the energization region. The interactions considered within this Chapter are classified as stochastic (i.e., second-order Fermi). Chapter 3 extends the analysis to a turbulent reconnection environment, fragmented into several randomly distributed UCS. The interactions induced within this Chapter are classified as systematic (i.e., first-order Fermi). This Chapter investigates two primary acceleration mechanisms in this context: (a) acceleration by electric fields and (b) acceleration via reflection at contracting islands. It is shown that both electrons and ions can achieve efficient acceleration, resulting in a power-law energy distribution with an index between 1 and 2, depending on the mechanism. However, the classical Fokker-Planck equation fails to reproduce the simulation results when transport coefficients are derived from the data, due to the particles performing Lévy flights in energy space, with energy increments displaying power-law tails. To address this, the study employs the Fractional Transport Equation (FTE) developed by Isliker et al. (2017), with parameters derived from simulation data. Numerical FTE solutions successfully replicate the particles' kinetic energy distribution, and the Chapter discusses the criteria for choosing between an FTE or a classical FP equation as the appropriate transport model. Chapter 4 explores the key characteristics of turbulent reconnection, combining large-scale magnetic disturbances (AS) with randomly distributed UCSs. The Chapter examines how well-known nonlinear MHD structures, such as strong turbulence, current sheets, and shocks, asymptotically lead to turbulent reconnection. This study is the first to analyze the simultaneous energization of electrons and ions in a large-scale environment featuring both significant amplitude disturbances propagating at sub-Alfvénic speeds and UCSs. It is found that magnetic disturbances induce stochastic (second-order Fermi) interactions, playing a crucial role in particle heating. In contrast, UCSs induce systematic (first-order Fermi) interactions, contributing significantly to the formation of the high-energy tail. The synergy between these stochastic and systematic acceleration mechanisms affects the energetics of thermal and nonthermal particles, the power-law index of the energy distribution, and the time particles remain within the energy release region. The study suggests that this combined effect explains the observed rapid particle acceleration and the slightly delayed formation of a superhot particle population. In conclusion, the thesis demonstrates that explosive events in laboratory and astrophysical plasmas generate strong turbulence and turbulent reconnection, leading to particle heating and acceleration through a synergistic interaction between stochastic and systematic mechanisms involving coherent structures such as AS and UCS.

Στην παρούσα διατριβή ερευνάται η αλληλεπίδραση φορτισμένων σωματιδίων (ηλεκτρονίων και ιόντων) με τυχαία σχηματιζόμενους σκεδαστές, όπως μεγάλες τοπικές μαγνητικές διαταραχές ή συνεκτικές μαγνητικές ανωμαλίες, καθώς και ασταθή φύλλα ρεύματος, μέσα στο θεωρητικό πλαίσιο που εισήγαγε ο Enrico Fermi το 1949. Οι σκεδαστές αυτοί παράγονται από εκρηκτικές εκλύσεις μαγνητικής ενέργειας, που χαρακτηρίζονται από τοπικές μαγνητικές διακυμάνσεις μεγάλης κλίμακας, ήτοι με λόγο δB/B περίπου 1, όπου το δB είναι το μέτρο της μαγνητικής διαταραχής και B το περιβάλλων μαγνητικό πεδίο. Κατανέμονται τυχαία εντός μίας ασταθούς μαγνητικής τοπολογίας. Το Κεφάλαιο 2 εστιάζει στη διάδοση μαγνητικών διαταραχών που ονομάζονται σκεδαστές Alfvén — Alfvénic Scatterers (AS). Το υπολογιστικό μοντέλο έγκειται σε ένα τρισδιάστατο χωρίο διαμερισμένο σε πλέγμα, ένα μικρό κλάσμα τυχαία επιλεγμένων σημείων του οποίου λειτουργεί ως AS. Εξετάζεται η εξέλιξη πολλών δοκιμαστικών σωματιδίων που αλληλεπιδρούν με αυτούς, αναλύοντας την κατανομή ενέργειας και τον χρόνο διαφυγής τους από το χωρίο. Εφαρμόζοντας μια καθιερωμένη μέθοδο για τον προσδιορισμό των συντελεστών μεταφοράς από τις τροχιές των σωματιδίων, στο Κεφάλαιο αυτό αποδεικνύεται πώς η αριθμητική επίλυση της εξίσωσης Fokker-Planck (FP) μπορεί να ανακτήσει την κατανομή ενέργειας των σωματιδίων. Η μελέτη δείχνει ότι η Στοχαστική Ενεργοποίηση Fermi — Stochastic Fermi Energization (SFE) του ήπια σχετικιστικού και σχετικιστικού πλάσματος μπορεί να θερμάνει αποτελεσματικά και να επιταχύνει την ουρά του πληθυσμού των σωματιδίων του περιβάλλοντος, σε συμφωνία με τις προβλέψεις των Parker (1958) και Ramaty (1979). Η θερμοκρασία του θερμού πλάσματος και η κατανομή των ενεργητικών σωματιδίων εξαρτώνται από τη μέση ελεύθερη διαδρομή λ των σωματιδίων μεταξύ των σκεδαστών εντός της περιοχής ενεργοποίησης. Οι αλληλεπιδράσεις που εξετάζονται εδώ χαρακτηρίζονται ως στοχαστικές Fermi 2ης τάξης). Το Κεφάλαιο 3 επεκτείνει την ανάλυση σε τυρβώδη περιβάλλοντα μαγνητικής επανασύνδεσης, κατακερματισμένα σε διάφορα τυχαία κατανεμημένα Ασταθή Φύλλα Ρεύματος — Unstable Current Sheets (UCS). Οι αλληλεπιδράσεις που εξετάζονται σε αυτό το Κεφάλαιο χαρακτηρίζονται ως συστηματικές (Fermi 1ης τάξης). Διερευνόνται δύο πρωτεύοντες μηχανισμοί επιτάχυνσης σε αυτό το πλαίσιο: (α) η επιτάχυνση από ηλεκτρικά πεδία και (β) η επιτάχυνση μέσω ανάκλασης σε συμβαδίζοντες μαγνητικές νήσους. Αποδεικνύεται ότι, τόσο τα ηλεκτρόνια, όσο και τα ιόντα, μπορούν να επιταχύνουν αποτελεσματικά, με αποτέλεσμα μια κατανομή ενέργειας νόμου δύναμης με δείκτη μεταξύ 1 και 2, αναλόγως του μηχανισμού. Ωστόσο, η κλασσική εξίσωση Fokker-Planck αποτυγχάνει να αναπαράγει τα αποτελέσματα της προσομοίωσης, όταν οι συντελεστές μεταφοράς προέρχονται από τα δεδομένα, λόγω των σωματιδίων που εκτελούν πτήσεις Lévy στον χώρο ενέργειας, με αύξηση ενέργειας που εμφανίζει ουρές νόμου δύναμης. Αντ' αυτής, εφαρμόζεται η Κλασματική Εξίσωση Μεταφοράς — Fractional Transport Equation (FTE), που αναπτύχθηκε στο Isliker et al. (2017), με παραμέτρους που προέρχονται από τα δεδομένα της προσομοίωσης. Οι αριθμητικές λύσεις της FTE αναπαράγουν με επιτυχία την κατανομή της κινητικής ενέργειας των σωματιδίων. Tο Κεφάλαιο αυτό καταλήγει στα κριτήρια επιλογής μεταξύ μιας εξίσωσης FTE ή μιας κλασσικής εξίσωσης FP ως το κατάλληλο μοντέλο μεταφοράς. Στο Κεφάλαιο 4 διερευνόνται τα βασικά χαρακτηριστικά της τυρβώδους επανασύνδεσης, συνδυάζοντας μαγνητικές διαταραχές μεγάλης κλίμακας (AS) με τυχαία κατανεμημένα UCS. Eξετάζεται πώς γνωστές μη γραμμικές μαγνητοϋδροδυναμικές δομές (MHD), όπως ισχυροί στροβιλισμοί, φύλλα ρεύματος και κρούσεις, οδηγούν ασυμπτωτικά σε τυρβώδη επανασύνδεση. Αυτή η μελέτη είναι η πρώτη που αναλύει την ταυτόχρονη ενεργοποίηση ηλεκτρονίων και ιόντων σε ένα περιβάλλον μεγάλης κλίμακας, που χαρακτηρίζει τόσο σημαντικές διαταραχές πλάτους που διαδίδονται σε υπο-Alfvén-ικές ταχύτητες και UCS. Διαπιστώνεται ότι οι μαγνητικές διαταραχές προκαλούν στοχαστικές αλληλεπιδράσεις (Fermi 2ης τάξης), παίζοντας κρίσιμο ρόλο στη θέρμανση των σωματιδίων. Αντιθέτως, τα UCS προκαλούν συστηματικές αλληλεπιδράσεις (Fermi 1ης τάξης), συμβάλλοντας σημαντικά στον σχηματισμό της ουράς υψηλής ενέργειας. Η συνέργεια μεταξύ αυτών των στοχαστικών και συστηματικών μηχανισμών επιτάχυνσης επηρεάζει την ενέργεια των θερμικών και μη θερμικών σωματιδίων, τον δείκτη νόμου δύναμης στην κατανομή ενέργεια και τον χρόνο κατά τον οποίο τα σωματίδια παραμένουν εντός της περιοχής ενεργοποίησης. Η μελέτη υποδηλώνει ότι αυτό το συνδυασμένο αποτέλεσμα εξηγεί την παρατηρούμενη ταχεία επιτάχυνση σωματιδίων και τον ελαφρώς καθυστερημένο σχηματισμό ενός πληθυσμού υπέρθερμων σωματιδίων. Συμπερασματικά, η διατριβή καταδεικνύει ότι τα εκρηκτικά γεγονότα σε εργαστηριακά και αστροφυσικά πλάσματα δημιουργούν ισχυρή τύρβη και τυρβώδη επανασύνδεση, οδηγώντας σε θέρμανση και επιτάχυνση σωματιδίων μέσω μιας συνδυαστικής αλληλεπίδρασης μεταξύ στοχαστικών και συστηματικών μηχανισμών που περιλαμβάνουν συνεκτικές δομές όπως AS και UCS.