Numerical simulations of anomalous transport in fusion devices

Abstract

In 1932 the renowned Horace Lamb, while addressing the British Association for the Advancement of Science, reportedly said, "I am an old man now, and when I die and go to heaven there are two matters on which I hope for enlightenment. One is quantum electrodynamics, and the other is the turbulent motion of fluids. And about the former, I am rather optimistic". The quote perfectly describes our understanding of turbulence and our attempts to control it.Turbulence appears as a phenomenon characterizing the flow of fluids. Since fluid models are often used in physics, turbulence frustratingly appears in many different areas. Thus, it is no surprise that it also manifests in the plasma contained in fusion machines. These machines attempt to mimic processes occurring in stars, meaning that if successful, they would produce vast amounts of energy to sustain our technologically evolving world.The main obstacle to achieving this goal is turbulence, which enhances the transport of energy and mass inside fusion machines, destabilizing the plasma and disrupting machine operation. The primary types of magnetic fusion devices used are the tokamak and the stellarator, which are also the focus of this thesis. These are remarkable machines since they contain plasma heated to hundreds of millions of degrees at their core, while at their edge, the temperature must remain low enough to avoid melting their metal walls. This suggests a steep temperature gradient inside these machines, which, combined with the twisting of the magnetic field needed for containing the plasma, results in a variety of disruptive phenomena.Turbulence, as already stated, is one of these phenomena, and to make matters more challenging, it appears for various reasons and at different scales. Early magnetic fusion devices suffered from magnetohydrodynamic (MHD) mode-driven turbulence, but as they evolved, turbulence due to micro-instabilities on the spatial scale of the Larmor radius became the primary problem. These instabilities gave rise to complex phenomena leading to anomalous transport properties in the fusion machines. One of the physical mechanisms proposed to influence the transport properties of fusion machines is a self-organization process related to high-value avalanching events in heat flux that increase transport levels. Therefore, Self-Organized Criticality (SOC) and its appearance and effect in the physical system of magnetic fusion device plasmas are crucial to explore.The scope of this work will be the study of turbulence produced by micro-instabilities, specifically the so-called drift wave turbulence, and its effect on radial heat flux transport in tokamaks and stellarators that suffer from this issue. Additionally, the research will examine the existence and impact of self-organized criticality (SOC) in these physical systems.Reducing the cost of designing and optimizing fusion experiments has made it clear that large-scale computer simulations are needed. Due to the variety of length and time scales in fusion devices, such numerical experiments are challenging. Thus, reducing the computational cost by adopting specific assumptions according to the type of turbulence under study is necessary. In the study of micro-turbulence, the main approach is the gyrokinetic theory (GK). The equations describing the gyrokinetic approach in plasma studies are used in simulations and have been implemented by various numerical codes specifically for the magnetic geometry of tokamaks and stellarators. The code used throughout this work is GENE, developed at IPP Garching by the team of Prof. Dr. Frank Jenko, which has a large and worldwide user community.In Chapter 1 of this thesis, a brief introduction to the main theoretical concepts of magnetic fusion machines and the instabilities under study is presented. Chapter 2 outlines the key points of gyrokinetic theory (GK), along with a short presentation of the GENE code and its implementation of the gyrokinetic equations. Then, the statistical methods used in the analysis of turbulent data, as well as the methods used in the study of Self-Organized Criticality (SOC), are explained in Chapter 3, concluding the theoretical introduction to the subjects studied.The main turbulent mechanism simulated and examined in this thesis is a drift wave type of instability known as the ion temperature gradient (ITG) instability, with electrons considered adiabatic. The temperature gradient provides free energy to these modes and enhances instability, while at the same time, a competing mode known as zonal flow absorbs part of the energy of the unstable modes. Under certain conditions, this physical system self-regulates and exhibits self-organization characteristics. Gyrokinetic simulations are categorized based on the portion of the magnetic field simulated: they are either local, where the gyrokinetic equations are solved in a flux tube geometry, or global, where a complete radial description of the simulated area is adopted, allowing for the variation of physical quantities along the radial direction.In Chapter 4, we examine the characteristics of ITG turbulence and attempt to detect the existence of self-organization and the conditions needed for its appearance in local gyrokinetic simulations. A similar analysis is performed for global simulations in Chapter 5, with simulations being either gradient-driven, having prescribed temperature and density radial profiles, or flux-driven, where a localized heat source is adopted, allowing the temperature profile to evolve following heating. Turbulent fluctuations of heat flux are examined statistically for both types of global simulations, and the characteristics of SOC are researched. Finally, in Chapter 6, the stellarator machine is studied using a realistic quasi-isodynamic magnetic field geometry through local simulations of ITG mode-driven turbulence, and spectral analysis is attempted to examine its transport properties. The study summarizes its results in Chapter 7, providing insights into the subject of describing turbulence characteristics in magnetic fusion devices while attempting to quantify the existence of SOC and its impact on transport in these complex physical systems.

Το 1932, ο διάσημος Horace Lamb, ενώ απευθυνόταν στη Βρετανική Ένωση για την Προώθηση της Επιστήμης, φέρεται να είπε: «Είμαι πλέον γέρος, και όταν πεθάνω και πάω στον παράδεισο, υπάρχουν δύο θέματα για τα οποία ελπίζω να λάβω διαφώτιση. Το ένα είναι η κβαντική ηλεκτροδυναμική και το άλλο είναι η τυρβώδης κίνηση των ρευστών. Και για το πρώτο είμαι μάλλον αισιόδοξος». Το απόφθεγμα περιγράφει τέλεια τις προσπάθειες μας για τη κατανόηση της τύρβης και τις προσπάθειές μας να την ελέγξουμε.Η τύρβη εμφανίζεται ως φαινόμενο που χαρακτηρίζει τη ροή των ρευστών. Δεδομένου ότι το μοντέλο του ρευστού εμφανίζεται συχνά στη φυσική, η τύρβη εμφανίζεται δυστυχώς παράλληλα με αυτό. Έτσι, δεν προκαλεί έκπληξη ότι εκδηλώνεται και στο πλάσμα που περιέχεται στις συσκευές σύντηξης. Αυτές οι συσκευές προσπαθούν να μιμηθούν τις διαδικασίες που συμβαίνουν στο εσωτερικό των αστέρων, πράγμα που σημαίνει ότι αν το επιτύχουν, θα παράγουν τεράστιες ποσότητες ενέργειας, η οποία είναι απαραίτητη για τη διατήρηση του τεχνολογικά εξελισσόμενου κόσμου μας.Το κύριο εμπόδιο για την επίτευξη αυτού του στόχου είναι όπως ήδη αναφέρθηκε η τύρβη, η οποία αυξάνει την ακτινική μεταφορά ενέργειας και μάζας μέσα στις συσκευές σύντηξης, αποσταθεροποιώντας το πλάσμα και διακόπτοντας τη λειτουργία της συσκευής. Οι κύριοι τύποι μαγνητικών συσκευών σύντηξης που χρησιμοποιούνται είναι το tokamak και το stellarator και αποτελούν το βασικό αντικείμενο μελέτης αυτής της διατριβής. Αυτές είναι αξιοθαύμαστες συσκευές, καθώς περιέχουν πλάσμα που έχει θερμανθεί σε εκατοντάδες εκατομμύρια βαθμούς στο κέντρο τους, ενώ στο άκρο τους η θερμοκρασία του πρέπει να είναι αρκετά χαμηλή ώστε να μην λιώσουν τα μεταλλικά τοιχώματά τους. Αυτό και μόνο δείχνει την ύπαρξη μιας ιδιαίτερα έντονης θερμοκρασιακής μεταβολής μέσα σε αυτές τις συσκευές, η οποία, σε συνδυασμό με τη καμπύλωση του μαγνητικού τους πεδίου που απαιτείται για τον περιορισμό του πλάσματος, οδηγεί σε μια ποικιλία διαταρακτικών φαινομένων. Η τύρβη, όπως έχει ήδη αναφερθεί, είναι ένα από αυτά τα φαινόμενα και για να γίνει η κατάσταση ακόμη πιο δύσκολη, εμφανίζεται για διάφορους λόγους και σε διαφορετικές κλίμακες. Οι πρώιμες μαγνητικές συσκευές σύντηξης υπέφεραν από τύρβη λόγω των μαγνητοϋδροδυναμικών (MHD) ασταθειών, αλλά καθώς εξελίχθηκαν, η τύρβη λόγω ασταθειών μικρής χωρικής κλίμακας και συγκεκριμένα της τάξης της ακτίνας Larmor έγινε το κύριο πρόβλημα τους. Αυτές οι αστάθειες προκαλούν πολύπλοκα φαινόμενα που οδηγούν σε σημαντική αύξηση των επιπέδων της ακτινικής μεταφοράς μάζας και ενέργειας στις συσκευές σύντηξης. Ένας από τους φυσικούς μηχανισμούς που προτάθηκαν για να εξηγήσουν και να περιγράψουν την αυξημένη μεταφορά στις συσκευές σύντηξης είναι αυτός της αυτοοργάνωσης (Self-Organized Criticallity) που σχετίζεται με ακραία γεγονότα που έχουν τη μορφή χιονοστιβάδας στη ροή θερμότητας και διαταράσσουν τη λειτουργία των συγκεκριμένων συσκευών. Επομένως, είναι σημαντικό να εξεταστεί η αυτοοργάνωση (SOC) και συγκεκριμένα να επιβεβαιωθεί η ύπαρξη της ως φυσικού μηχανισμού στα συγκεκριμένα συστήματα καθώς και να εξεταστεί επίδρασή της στο πλάσμα των μαγνητικών συσκευών σύντηξης. Το αντικείμενο αυτής της διατριβής θα είναι η μελέτη της τύρβης που παράγεται από μικροαστάθειες, συγκεκριμένα της λεγόμενης drift wave τύρβης, και η επίδρασή της στις ιδιότητες της ακτινικής ροής θερμότητας των tokamak και stellarator που αντιμετωπίζουν αυτό το πρόβλημα, καθώς και η εξέταση της ύπαρξης και της επίδρασης της αυτοοργάνωσης SOC σε τέτοια φυσικά συστήματα.Η μείωση του κόστους σχεδίασης και βελτιστοποίησης πειραμάτων σύντηξης έχει καταστήσει σαφές ότι απαιτούνται μεγάλης κλίμακας υπολογιστικές προσομοιώσεις. Λόγω της ποικιλίας των χωρικών και χρονικών κλιμάκων στις συσκευές σύντηξης, τέτοια αριθμητικά πειράματα είναι ιδιαίτερα δύσκολα. Έτσι, για να μειώσουμε το υπολογιστικό κόστος υιοθετούμε συγκεκριμένες υποθέσεις ανάλογα με τον τύπο της τύρβης που μελετάται. Στη μελέτη της τύρβης μικρής κλίμακας, η κύρια προσέγγιση είναι η γυροκινητική θεωρία (Gyrokinetic Theory). Οι εξισώσεις που περιγράφουν την γυροκινητική προσέγγιση στη μελέτη του πλάσματος χρησιμοποιούνται στην υπολογιστική προσομοίωση αυτών των φαινομένων και έχουν υλοποιηθεί από διάφορους αριθμητικούς κώδικες, λαμβάνοντας υπόψη την ειδική μαγνητική γεωμετρία των tokamak και stellarator. Ο κώδικας που χρησιμοποιείται σε όλη την εργασία είναι ο GENE, που αναπτύχθηκε στο IPP Garching από την ομάδα του Καθηγητή Dr. Frank Jenko, και έχει μια εκτεταμένη παγκοσμίως κοινότητα χρηστών.Στο Κεφάλαιο 1 αυτής της διατριβής, παρουσιάζεται μια σύντομη εισαγωγή στις βασικές θεωρητικές έννοιες των μαγνητικών συσκευών σύντηξης και των υπό μελέτη ασταθειών. Το Κεφάλαιο 2 περιγράφει τα βασικά σημεία της γυροκινητικής θεωρίας (GK), μαζί με μια σύντομη παρουσίαση του κώδικα GENE και των μεθόδων που χρησιμοποιεί για την υλοποίηση των εξισώσεων της θεωρίας αυτής. Στη συνέχεια, οι στατιστικές μέθοδοι που χρησιμοποιούνται στην ανάλυση των δεδομένων της τύρβης, καθώς και οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται στη μελέτη της αυτοοργάνωσης (SOC), εξηγούνται στο Κεφάλαιο 3, ολοκληρώνοντας την θεωρητική εισαγωγή στα μελετούμενα θέματα.Ο κύριος μηχανισμός τύρβης που προσομοιώνεται και εξετάζεται σε αυτή τη διατριβή είναι ένας τύπος drift wave αστάθειας γνωστός ως αστάθεια θερμοκρασιακής κλίσης ιόντων (ITG), με τα ηλεκτρόνια να θεωρούνται αδιαβατικά. Η θερμοκρασιακή κλίση παρέχει ελεύθερη ενέργεια στο συγκεκριμένο τύπο αστάθειας ενισχύοντας τη, ενώ ταυτόχρονα, μια ανταγωνιστική κατάσταση γνωστή ως zonal flow απορροφά μέρος της ενέργειας της. Όταν πληρούνται συγκεκριμένες προϋποθέσεις, το συγκεκριμένο φυσικό σύστημα αυτορυθμίζεται και εμφανίζει χαρακτηριστικά αυτοοργάνωσης. Οι γυροκινητικές προσομοιώσεις κατηγοριοποιούνται με βάση το τμήμα του μαγνητικού πεδίου που προσομοιώνεται: είτε είναι τοπικές (local), όπου οι γυροκινητικές εξισώσεις λύνονται σε γεωμετρία ενός σωλήνα μαγνητικής ροής (flux tube), είτε καθολικές (global), όπου υιοθετείται μια πλήρης ακτινική περιγραφή της προσομοιωμένης περιοχής, επιτρέποντας την μεταβολή των φυσικών ποσοτήτων κατά την ακτινική διεύθυνση.Στο Κεφάλαιο 4, εξετάζουμε τα χαρακτηριστικά της τύρβης ITG και προσπαθούμε να ανιχνεύσουμε την ύπαρξη αυτοοργάνωσης και τις συνθήκες που χρειάζονται για την εμφάνισή της σε local γυροκινητικές προσομοιώσεις. Μια παρόμοια ανάλυση πραγματοποιείται για global προσομοιώσεις στο Κεφάλαιο 5, με τις προσομοιώσεις να είναι είτε οδηγούμενες από προκαθορισμένα ακτινικά προφίλ θερμοκρασίας και πυκνότητας (gradient-driven), είτε κατευθυνόμενες από τη ροή θερμότητας (flux-driven), όπου σε συγκεκριμένη θέση του υπολογιστικού πεδίου υλοποιούμε μια πηγή θερμότητας η οποία θερμαίνει το πλάσμα, επιτρέποντας στο προφίλ θερμοκρασίας να εξελίσσεται σύμφωνα με την θέρμανση. Οι τυρβώδεις διακυμάνσεις της ροής θερμότητας εξετάζονται στατιστικά και για τους δύο τύπους global προσομοιώσεων και ερευνώνται τα χαρακτηριστικά της SOC. Τέλος, στο Κεφάλαιο 6, μελετάται η συσκευή stellarator χρησιμοποιώντας μια ρεαλιστική σχεδόν-ισοδυναμική (quasi-isodynamic) μαγνητική γεωμετρία μέσω local προσομοιώσεων της τύρβης λόγω της ITG αστάθειας, και επιχειρείται μια φασματική ανάλυση για την εξέταση των ιδιοτήτων της ακτινικής μεταφοράς της θερμότητας. Η μελέτη συνοψίζει τα αποτελέσματά της στο Κεφάλαιο 7, παρέχοντας τα ευρήματα της σχετικά με την περιγραφή των χαρακτηριστικών της τύρβης στις μαγνητικές συσκευές σύντηξης, ενώ ταυτόχρονα προσπαθεί να ποσοτικοποιήσει την ύπαρξη της SOC και την επίδραση της στη ροή της θερμότητας σε αυτά τα σύνθετα φυσικά συστήματα.