Ομοιογενοποίηση σύνθετων δομών από ελαστοπλαστικά υλικά

Abstract

In the present PhD thesis, the notion of stratified homogenization first introduced by Bensoussan, Lions, Papanicolaou is extended in the case of structures with generalized periodicity that have special interest because of their non repetitive geometry. It has been proved that through the function of generalized periodicity, the unit cell is always a rectangular, independent of the geometry of the structure. The combination of mathematical homogenization and finite element methods for the solution the unit cell problem is the usual procedure, in order to avoid an excessive computational cost. The concept of function of generalized periodicity leads to appropriate single unit cell. More specifically, in Chapter 1 we give an introduction while Chapter 2 is referred to functional analysis, Sobolev spaces, weak formulation of elliptic problem, kinds of convergence, concept of well posed problem and existence of the solution. Chapter 3 is dedicated to the mathematical homogenization and the effective properties of composite structures made of elastic materials under the concept of generalized periodicity. Analytical homogenization of composite structures made of elastic materials with generalized periodicity has been presented in order to highlight and explain the effect of non linearity of microstructure to the effective properties. We emphasize to the concept of generalized periodicity in the case of polar coordinate. It has been proved for the first time that unit cell, under the concept of generalized periodicity, can be always an orthogonal parallelepiped independently of geometry. A wavy multilayered heterogeneous structure has been analyzed with the asymptotic expansion homogenization technique in two steps. The first step lead to a continuously graduated periodic monoclinic material, while the second one to an orthotropic homogenous effective material. It has been observed that the heterogeneous structure, made of two isotropic materials, is homogenized to an orthotropic material. That is homogenization causes anisotropy. Analytical expressions for the stiffness matrix components of the effective ``homogeneous" material are presented for the first time. In every step, the role of waviness on the effective properties is shown. Additionally, the technique of approximate locally periodic homogenization is presented. This technique provides an interesting perspective especially in the case of fiber reinforced composites with cylindrical periodicity, for computing the stiffness matrix of the effective ``homogenous" material. In Chapter 4, the homogenization of structure made of elastoplastic materials, with highly different properties is presented. We present for the first time the admissible deformation fields in the case of mathematical homogenization of heterogeneous structures made of elastoplastic materials under the concept of generalized periodicity. A case of interest is that of structures with non repeated microstructure where the classical finite element techniques lead to unit cells dependent on the position leading to an enormous computational cost. The proposed theory allows the extension of two scale homogenization of Allaire and Nguetseng to the case of generalized periodicity. This method has some advantages. The first one, that is a feature of the two scale homogenization, is that test functions in the weak formulation of equilibrium equations are oscillating, allowing the use of non linear constitutive equations and avoiding the asymptotic expansion homogenization technique. The second one, that comes from the weak convergence of functions with generalized periodicity, is that the unit cell is independent of the position. The proposed theory is accompanied by the discretized weak formulation by applying an implicit backward Euler difference scheme and the iterative method Newton-Raphson, and by an appropriate computational algorithm. The proposed theory can be applied to elastic, elastoplastic and viscoplastic materials. Also, it can be applied to isotropic and kinematic hardening or to a combination of them. In Chapter 5 we transform the continuum problem to a discrete one by applying an implicit Euler scheme and by using the Newton-Raphson iterative method in order to solve it arithmetically. Next we construct the solution algorithm which is the base of the corresponding source code in Fortran language. The algorithm consists of four interacting each other problems. In Chapter 6, four numerical examples are presented. The first two concern of structures made of elastic materials, a wavy multilayer structure with full analytical solution under the concept of generalized periodicity and a fiber reinforced jacket where effective properties are calculated by using the approximate locally periodic homogenization. The next two concern structures made of elastoplastic materials. More specifically we present a wavy multilayer structure of sinusoidal structure and a cylindrical multilayer tube, as well as their semi analytically solutions, that is an advantage of the proposed theory. We present the effective mechanical properties under the concept of generalized periodicity function. The PhD thesis ends with the presentation, in Chapter 7, of the major conclusions of this research and the perspectives of future extensions. Parts of the thesis have been published in three international scientific journals and in the proceedings of three international conferences.

Στην παρούσα διατριβή, η έννοια της στρωματικής ομοιογενοποίησης που προτάθηκε από τους Bensoussan, Lions, Papanicolaou επεκτείνεται στην περίπτωση υλικών με γενικευμένη περιοδικότητα που έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον λόγω της μη επαναλαμβανόμενης γεωμετρίας τους. Αποδεικνύεται ότι μέσω της συνάρτησης γενικευμένης περιοδικότητας το μοναδιαίο κελί στο μικροεπίπεδο είναι πάντα ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, ανεξάρτητα από τη γεωμετρία της κατασκευής. Ο συνδυασμός της μαθηματικής ομοιογενοποίησης και των μεθόδων πεπερασμένων στοιχείων για την επίλυση του προβλήματος μοναδιαίου κελιού αποτελεί συνήθη διαδικασία για την αποφυγή μιας απευθείας εφαρμογής των μεθόδων αυτών σε ένα τεράστιο αριθμό επιμέρους προβλημάτων. Η ιδέα της συνάρτησης γενικευμένης περιοδικότητας δίνει ακριβώς το κατάλληλο, ενιαίο, μοναδιαίο κελί. Πιο συγκεκριμένα το κεϕάλαιο 1 είναι εισαγωγικό, ενώ στο κεφάλαιο 2 παρουσιάζονται συνοπτικά ορισμένα θεμελιώδη στοιχεία από τη συναρτησιακή ανάλυση, γίνεται αναφορά στους χώρους Sobolev, στην ασθενή διατύπωση του ελλειπτικού προβλήματος, στα είδη σύγκλισης, στην έννοια του καλώς τιθεμένου προβλήματος καθώς και στη μελέτη της ύπαρξης λύσης. Συνεχίζοντας, το κεφάλαιο 3 είναι αφιερωμένο στη μαθηματική ομοιογενοποίηση και στην εύρεση ισοδύναμων ιδιοτήτων σύνθετων δομών από ελαστικά υλικά με γενικευμένη περιοδικότητα. Παρουσιάζεται η αναλυτική ομοιογενοποίηση σύνθετων δομών από ελαστικά υλικά με γενικευμένη περιοδικότητα με σκοπό να αναδειχθεί και εξηγηθεί η επίδραση της μη γραμμικότητας της μικροδομής στις ισοδύναμες ιδιότητες. Αναλύεται η έννοια της γενικευμένης περιοδικότητας δίνοντας έμϕαση στις πολικές συντεταγμένες. Αποδεικνύεται για πρώτη αφορά ότι το μοναδιαίο κελί μπορεί να είναι πάντοτε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, ανεξάρτητα από την εξεταζόμενη γεωμετρία, με τη χρήση της συνάρτησης γενικευμένης περιοδικότητας. Αναλύεται μια πολυστρωματική κυματοειδής ετερογενής κατασκευή με την τεχνική της ασυμπτωτικής ομοιογενοποίησης σε δυο βήματα. Το πρώτο βήμα οδηγεί σε ένα περιοδικά συνεχώς διαβαθμισμένο μονοκλινές υλικό. Το δεύτερο βήμα οδηγεί σε ένα ορθότροπο ομοιογενές ισοδύναμο υλικό. Παρατηρείται δηλαδή ότι το ετερογενές υλικό, αποτελούμενο από δυο ισότροπα ελαστικά υλικά, μετατρέπεται τελικά σε ορθότροπο υλικό, αποδεικνύοντας ότι η ομοιογενοποίηση αποτελεί αιτία ανισοτροπίας. Παρουσιάζονται για πρώτη αφορά αναλυτικές εκφράσεις για τον υπολογισμό των συντελεστών του μητρώου δυσκαμψίας του ισοδύναμου “ομοιογενούς” υλικού. Εξετάζεται η επίδραση της κυματότητας στις ισοδύναμες ιδιότητες. Τέλος, παρουσιάζεται μια εναλλακτική οδός αυτή της προσεγγιστικής, τοπικά περιοδικής, ομοιογενοποίησης ως μέθοδος υπολογισμού των συντελεστών του μητρώου δυσκαμψίας του ισοδύναμου “ομοιογενούς” υλικού, με ενδιαφέρουσα προοπτική ιδιαίτερα σε σύνθετες ινοενισχυμένες δομές με κυλινδρική περιοδικότητα. Στη συνέχεια, στο κεϕάλαιο 4, παρουσιάζεται η ομοιογενοποίηση δομών από ελαστοπλαστικά υλικά των οποίων οι ιδιότητες έχουν τιμές που διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους (δηλ. οι τιμές μιας ιδιότητας “ταλαντώνονται” πολύ γρήγορα, καθώς διατρέχεται η δομή). Παρουσιάζονται, επίσης για πρώτη ϕορά, τα παραδεκτά πεδία παραμόρφωσης που αφορούν στην μαθηματική ομοιογενοποίηση ετερογενών δομών από ελαστοπλαστικά υλικά με γενικευμένη περιοδικότητα Μια περίπτωση ιδιαίτερου ενδιαφέροντος είναι αυτή των δομών με μη επαναλαμβανόμενη μικροδομή, στις οποίες οι κλασσικές τεχνικές πεπερασμένων στοιχείων οδηγούν σε μοναδιαία κελιά που εξαρτώνται από τη θέση με συνέπεια τεράστιο υπολογιστικό κόστος. Η προτεινόμενη θεωρία βασίζεται σε μια συναρτησιακή θεμελίωση που επιτρέπει την επέκταση της ομοιογενοποίησης με σύγκλιση σε δυο κλίμακες (two scale convergence),των Allaire και Nguetseng, στην περίπτωση της γενικευμένης περιοδικότητας. Η μέθοδος αυτή παρουσιάζει ορισμένα πλεονεκτήματα. Το πρώτο πλεονέκτημα, το οποίο είναι έμφυτο χαρακτηριστικό της ομοιογενοποίησης με σύγκλιση σε δυο κλίμακες, είναι ότι οι συναρτήσεις δοκιμής στην ασθενή διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας ταλαντώνονται, επιτρέποντας τη χρήση μη γραμμικών καταστατικών εξισώσεων και αποφεύγοντας την ασυμπτωτική ομοιογενοποίηση. Το δεύτερο πλεονέκτημα, το οποίο προέρχεται από τις ιδιότητες της ασθενούς σύγκλισης συναρτήσεων με γενικευμένη περιοδικότητα, είναι ότι το μοναδιαίο κελί είναι ανεξάρτητο από την θέση. Ακόμη, η προτεινόμενη θεωρία δεν περιορίζεται από καταστατικούς νόμους και βρίσκει εφαρμογή στην ελαστική, ελαστοπλαστική και ιξωπλαστική συμπεριφορά σε συνδυασμό με ισότροπη και κινηματική σκλήρυνση ή συνδυασμό αυτών. Ακολουθεί στο κεϕάλαιο 5 η μετατροπή του συνεχούς προβλήματος σε διακριτό, με την εφαρμογή ενός έμμεσου προς τα πίσω σχήματος διαφορών Euler και της επαναληπτικής μεθόδου Newton-Raphson, ώστε ακολούθως να είναι δυνατή η αριθμητική επίλυση του. Στη συνέχεια οικοδομείται ο αλγόριθμος επίλυσης του προβλήματος, ο οποίος αποτελεί την βάση για τη δημιουργία του αντίστοιχου προγράμματος σε γλώσσα προγραμματισμού Fortran. Ο αλγόριθμος συνίσταται από τέσσερα επιμέρους προβλήματα που αλληλεπιδρούν. Στο κεϕάλαιο 6 παρουσιάζονται τέσσερις αριθμητικές εφαρμογές. Οι δυο πρώτες αφορούν δομές μόνο από ελαστικά υλικά. Η πρώτη από αυτές αφορά ένα σύνθετο πολυστρωματικό υλικό και παρουσιάζονται οι ισοδύναμες ιδιότητες του με τη βοήθεια της συνάρτησης γενικευμένης περιοδικότητας ενώ η δεύτερη αφορά έναν ινοενισχυμένο μανδύα επισκευής τσιμεντένιας δοκού όπου παρουσιάζονται οι ισοδύναμες ιδιότητες του υπολογισμένες με την μέθοδο της προσεγγιστικής, τοπικά περιοδικής, ομοιογενοποίησης. Ακολουθούν άλλα δυο παραδείγματα μελέτης δομών αποτελούμενων από ελαστοπλαστικά υλικά. Το πρώτο αφορά ένα σύνθετο πολυστρωματικό υλικό ημιτονοειδούς δομής ενώ το δεύτερο αφορά στη μελέτη ενός κυλινδρικού αγωγού. Παρουσιάζονται οι ισοδύναμες μηχανικές τους ιδιότητες με τη βοήθεια της συνάρτησης γενικευμένης περιοδικότητας. Η διατριβή κλείνει με την παρουσίαση, στο κεϕάλαιο 7, των συμπερασμάτων που προέκυψαν καθώς και με την αναφορά στην προοπτική του συγκεκριμένου επιστημονικού θέματος στο άμεσο μέλλον. Τμήματα της διδακτορικής διατριβής δημοσιεύθηκαν σε τρία διεθνή περιοδικά και σε τρία πρακτικά συνεδρίων.