Συμβολή στη μελέτη γενικευμένων μετρικών πραγματικών και μιγαδικών χώρων, οι γραμμικοί μετασχηματισμοί τους και σχετικές εφαρμογές στη φυσική

Abstract

The aim of the present doctoral thesis is double. On the first hand, it contributes to the research on the four-dimensional Spaces (Spacetimes), which are usually limited to the description of their elements (Four-vectors) with coordinates from the field of Real numbers (R), the Euclidean or Lorentz metric and also open Boosts and closed Linear transformations (which imply the corresponding Groups). Here, we extent the study to the description of the four-vectors with coordinates from the field of Complex numbers (ℂ), the generalized Isotropic metric and also open and closed Boosts which are closed Linear transformations (from where the corresponding Groups are obtained).On the other hand, it contributes to the research on Curved spacetimes and the corresponding inertial motion (General Relativity - GR), correlating them to a Vector field that comes from Gravitational Scalar Generalized Potential (GSGP) in the corresponding Flat spacetimes (Special Relativity - SR). Thus, a new “connection” between GR and SR is obtained. Moreover, the Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW) metric from the form of technical coordinates:(2.1)was expressed with the more explicit form of spherical coordinates:)(2.2)which gave us the isotropic form:(2.3)where k is the index of curvature of the Universe, R is the radius of curvature of the Universe and(2.4)The FLRW metric is used to the explanation of the Expansion of the Universe and led to the development of the ΛCDM (Lambda Cold Dark Matter) cosmological model. Contrary to the Minkowski spacetime endowed with Lorentz metric, the spacetime endowed with FLRW metric, has variable speed of light in vacuum. Furthermore, excluding the first two weeks after the Big Bang when the radius of curvature of the Universe R was changing at a high relative rate, the relative rate of change of the radius of curvature of the Universe (which is the same as the Hubble parameter H(t) = = R. / R = dR/dt / R(t) ) has very small value (dot denotes total derivative with respect to the time). Given that the age of the Universe is about 13 billion years (= 3×10^17 s) and the present size is about 3×10^6 Mpc (= 1×10^26 m), there are spacetime intervals of the order of 7 thousand Mpc × 17 million years, where the speed of light in vacuum is almost constant, with relative errors less than one per thousand (see §11.8).In these large spacetime intervals, we can consider that the coefficients of FLRW metric remain constant. So, we can also consider the corresponding closed and open Boosts and the corresponding Linear transformations of Inertial frames in Spacetime. According to the above analysis, we published the Closed Linear Transformation (Λ_Ι) in Isotropic spacetime (ℂΙ^4 ) with Generalized metric (g_Ι ) and elements which are described using complex Cartesian coordinates of space Rℂ^3. The spacetime ℂΙ^4 is extension of the real Minkowski spacetime (Μ^4 ) with Lorentz metric (g_L) and elements which are described using real Cartesian coordinates of space R^4 [1].The aforementioned paper [1] also contains the corresponding Closed Linear Transformation (Λ_B^E ) in Spacetime (Ε^4 or ℂΕ^4 ) with Euclidean metric (g_E ) and elements which are described using real or complex Cartesian coordinates of space R^4 or Rℂ^3, respectively. The above Linear Transformations are the base for the development of new Generalized Special Relativity theories in Real and Complex Spacetimes. Moreover, they lead to the Unification of the Newtonian Physics and the Einsteinian Relativity Theory (via the Generalized Real Boost) [2].At the late Universe, the coefficients of FLRW metric approach those of Lorentz metric (they become equal to them at infinite time after the Big Bang) and the Einsteinian SR is valid with high accuracy. Though, the primary Universe had speed of light in vacuum with value larger than the present one. Thus, for events at small distances (with cosmological viewpoint), the corresponding SR was intermediate between the Einsteinian SR (where the speed of interaction is limited by the present speed of light in vacuum) and the Newtonian Physics (which considers instantaneous action at distance) (see §10.3 and §11.8).In addition, our papers [3-5] show that the gravity of GR can lead to the corresponding gravity of SR and vice-versa. The time dilation of GR is the key-point for this correlation, which gives the corresponding Lagrangian and the Gravitational Scalar Generalized Potential (GSGP) of SR. The reverse procedure is also achievable. Thus, the Newtonian gravitational potential according to SR leads to non-Riemannian metric of GR, i.e. Finsler geometry is demanded for further study in the frame of GR. The case of gravitational field with spherical symmetry is analytically presented. The procedure is applied to white / black holes according to Schwarzschild metric and Teleparallel gravity and spherical wormholes according to Scalar field of Einstein equations. Moreover, we show that there exist gravitational fields, where the particles have superluminal velocities. Here, we clarify that the aforementioned procedure has the following property: the results of the Gravity of SR are the same as the ones of the corresponding Gravity of of GR, only for metrics which does not depend on the time (stationary metrics). Though, the non-stationary metrics of GR, e.g. FLRW metric, have results which become the same as the ones of the corresponding Gravity of SR, only for the low velocities limit. Finally, the procedure was applied to FLRW metric and we obtained the corresponding GSGP and the Lagrangian of SR. Assuming that the primary photons from the Big Bang are moving with constant speed c in the frame of Gravity of SR, we calculated the rate of decurvature of spacetime in the frame of Gravity of GR. Thus, we obtained a model of Expanding Universe, which has negative curvature (k = -1), it decelerates with present deceleration parameter q_0 = 0.55 and explains the cosmological red shift of light from distant supernovae at far-away galaxies, like the standard cosmological model ΛCDM does with q_0 = -0.55 (i.e. negative deceleration parameter).

Ο σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι διττός. Αφενός, συνεισφέρει στην έρευνα των Διανυσματικών χώρων τεσσάρων διαστάσεων (Χωροχρόνοι) που συνήθως περιορίζεται στην περιγραφή των στοιχείων τους (Τετρανύσματα) με συντεταγμένες από το σώμα των Πραγματικών αριθμών (R), στην Ευκλείδεια Μετρική ή τη μετρική Lorentz και σε ανοικτές Προωθήσεις και κλειστούς Γραμμικούς μετασχηματισμούς (από όπου προκύπτουν οι αντίστοιχες Ομάδες), επεκτείνοντας τη μελέτη στην περιγραφή των Τετρανυσμάτων με συντεταγμένες από το σώμα των Μιγαδικών αριθμών (ℂ), σε γενικευμένη Ισοτροπική μετρική καθώς και σε ανοικτές και κλειστές Προωθήσεις που είναι Κλειστοί Γραμμικοί μετασχηματισμοί (από όπου προκύπτουν οι αντίστοιχες Ομάδες).Αφετέρου, συνεισφέρει στην έρευνα των Καμπύλων χωροχρόνων και της αδρανειακής κίνησης εντός αυτών (Γενική Σχετικότητα), συνδέοντας τους με ένα Διανυσματικό πεδίο που προκύπτει από Βαρυτικό Βαθμωτό Γενικευμένο Δυναμικό (Gravitational Scalar Generalized Potential - GSGP) στους αντιστοίχους Επίπεδους χωροχρόνους (Ειδική Σχετικότητα). Έτσι επιτυγχάνεται μια νέα«επικοινωνία» μεταξύ Γενικής και Ειδικής Σχετικότητας. Στην §8.9, μετατρέψαμε τη μετρική Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW), από τη μορφή των τεχνικών αδιάστατων συντεταγμένων:(3.1)στην πολύ πιο σαφή μορφή των σφαιρικών συντεταγμένων:(3.2)και εν συνεχεία λάβαμε την ισοτροπική μορφή:(3.3)όπου k είναι o δείκτης καμπυλότητας του Σύμπαντος, R είναι η ακτίνα καμπυλότητας του Σύμπαντος και(3.4)Η μετρική αυτή χρησιμοποιείται στην εξήγηση της Διαστολής του Σύμπαντος και οδήγησε στην ανάπτυξη του καθιερωμένου Κοσμολογικού Προτύπου ΛCDM (Lambda Cold Dark Matter).Όμως, σε αντίθεση με το χωροχρόνο Minkowski που έχει μετρική Lorentz, ο χωροχρόνος με μετρική FLRW έχει μεταβλητή ταχύτητα του φωτός στο κενό. Επιπρόσθετα, αν εξαιρέσουμε τις δύο πρώτες εβδομάδες μετά τη Μεγάλη Έκρηξη (Big Bang), όπου ακτίνα καμπυλότητας του Σύμπαντος R άλλαζε με γρήγορο σχετικό ρυθμό, ο σχετικός ρυθμός αλλαγής της ακτίνας καμπυλότητας του Σύμπαντος (που ταυτίζεται με την παράμετρο Hubble H(t) = = R. / R = dR/dt / R(t) ) είναι πολύ μικρός (η τελεία συμβολίζει ολική παράγωγο ως προς χρόνο). Με δεδομένο ότι η ηλικία του Σύμπαντος είναι της τάξεως των 13 δισεκατομμυρίων ετών (= 3×10^17 s) και το παρόν μέγεθός του είναι της τάξεως των 3×10^6 Mpc (= 1×10^26 m), υπάρχουν χωροχρονικά διαστήματα της τάξεως των 7 χιλιάδων Mpc × 17 εκατομμυρίων ετών, όπου η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι σχεδόν σταθερή, με σχετικά σφάλματα μικρότερα του ενός χιλιοστού (βλ. §11.8). Σε αυτά τα πολύ μεγάλα χωροχρονικά διαστήματα, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι οι συντελεστές της (ισοτροπικής) μετρικής FLRW παραμένουν σταθεροί και να δημιουργήσουμε τους αντίστοιχους Γραμμικούς μετασχηματισμούς των Συντεταγμένων Αδρανειακών Συστημάτων Αναφοράς. Σε αρμονία με τα παραπάνω, δημοσιεύσαμε τον Κλειστό Γραμμικό Μετασχηματισμό (Λ_Ι) εντός του Ισοτροπικού Χωροχρόνου (ℂΙ^4 ) που έχει Γενικευμένη Μετρική (g_Ι ) και τα στοιχεία του περιγράφονται με μιγαδικές Καρτεσιανές συντεταγμένες του χώρου Rℂ^3. Αυτός ο Χωροχρόνος ℂΙ^4 αποτελεί επέκταση του Πραγματικού Χώρου Minkowski (Μ^4 ) που έχει μετρική Lorentz (g_L) και τα στοιχεία του περιγράφονται με πραγματικές Καρτεσιανές συντεταγμένες του χώρου R^4 [1].Στη δημοσίευση περιλαμβάνεται και ο αντίστοιχος Κλειστός Μετασχηματισμός (Λ_B^E ) εντός Χωροχρόνου Ευκλείδειας Μετρικής (g_E ) που περιγράφεται με τόσο με πραγματικές όσο και με μιγαδικές Καρτεσιανές συντεταγμένες, Ε^4 και ℂΕ^4 , αντίστοιχα. Οι παραπάνω μετασχηματισμοί αποτελούν τη βάση ανάπτυξης μιας νέας Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας σε Πραγματικό και Μιγαδικό Χωρόχρονο. Επίσης οδηγούν στην ενοποίηση της Νευτώνειας Φυσικής με τη Θεωρία της Σχετικότητας του Einstein (μέσω της Γενικευμένης Πραγματικής Προώθησης) [2]. Στο ύστερο Σύμπαν, οι συντελεστές της μετρικής FLRW προσεγγίζουν αυτούς της μετρικής Lorentz (τείνουν σε αυτούς μετά από άπειρο χρόνο) και ισχύει με μεγάλη ακρίβεια η Ειδική Σχετικότητα του Einstein. Αντίθετα στο πρώιμο Σύμπαν, η ταχύτητα του φωτός στο κενό ήταν σημαντικά μεγαλύτερη της σημερινής. Έτσι για γεγονότα σε μικρές (από κοσμολογική άποψη) αποστάσεις, ίσχυε μια Ειδική Σχετικότητα ενδιάμεση αυτών του Einstein (όπου η ταχύτητα αλληλεπίδρασης περιορίζεται από τη σημερινή ταχύτητα του φωτός) και του Νεύτωνα (που θεωρεί ακαριαία δράση από απόσταση) (βλ. §10.3 και §11.8). Επιπλέον, όπως ανεδείχθη στις δημοσιεύσεις μας [3-5], η Βαρύτητα της Γενικής Σχετικότητας μπορεί να οδηγήσει στην αντίστοιχη Βαρύτητα της Ειδικής Σχετικότητας και το αντίστροφο. Αυτό επιτυγχάνεται μέσω της διαστολής χρόνου που προέρχεται από τη Γενική Σχετικότητα, η οποία χρησιμοποιείται για να λάβουμε την αντίστοιχη Lagrangian και το Βαρυτικό Βαθμωτό Γενικευμένο Δυναμικό της Ειδικής Σχετικότητας. Επίσης, παρουσιάζεται και η αντίστροφη διαδικασία. Έτσι το Νευτώνειο βαρυτικό δυναμικό σύμφωνα με την Ειδική Σχετικότητα οδηγεί σε non-Riemannian μετρική της Γενικής Σχετικότητας, δηλαδή σε Finsler geometry. Η περίπτωση της σφαιρικής συμμετρίας παρουσιάζεται αναλυτικά. Γίνεται εφαρμογή της μεθόδου σε λευκές και μελανές οπές σύμφωνα με τη μετρική του Schwarzschild και την Τηλεπαράλληλη βαρύτητα και σε σφαιρικές σκουληκότρυπες σύμφωνα με το βαθμωτό πεδίο των εξισώσεων Einstein. Επίσης, δείχνουμε ότι υπάρχουν βαρυτικά πεδία στα οποία τα σωματίδια έχουν υπερφωτονικές ταχύτητες. Πρέπει να γίνει σαφές ότι η παραπάνω διαδικασία έχει την ακόλουθη ιδιότητα: τα αποτελέσματα της Βαρύτητας της Ειδικής Σχετικότητας ταυτίζονται με αυτά της Βαρύτητας της Γενικής Σχετικότητας, μόνο για μετρικές που δεν εξαρτώνται από το χρόνο (stationary metrics). Στην αντίθετη περίπτωση (non-stationary metrics), όπως η μετρική FLRW, τα αποτελέσματα της Βαρύτητας της Ειδική Σχετικότητας ταυτίζονται με αυτά της Βαρύτητας της Γενικής Σχετικότητας, μόνο στο όριο των χαμηλών ταχυτήτων (low velocities limit).Τέλος, η προαναφερόμενη μέθοδος εφαρμόσθηκε στην μετρική FLRW και λάβαμε το αντίστοιχο Βαρυτικό Βαθμωτό Γενικευμένο Δυναμικό και τη Lagrangian της Ειδικής Σχετικότητας. Αξιώνοντας ότι τα πρωτογενή φωτόνια από τη Μεγάλη Έκρηξη (Big Bang) κινούνται με σταθερή ταχύτητα c στο πλαίσιο της FLRW Βαρύτητας της Ειδικής Σχετικότητας, μπορέσαμε να υπολογίσουμε το ρυθμό αποκαμπύλωσης του Χωροχρόνου στο πλαίσιο της FLRW Βαρύτητας της Γενικής Σχετικότητας. Έτσι καταλήξαμε σε ένα πρότυπο Διαστελλόμενου Σύμπαντος που έχει αρνητική καμπυλότητα (k = -1), είναι επιβραδυνόμενο με παράμετρο επιβράδυνσης q_0 = 0.55 και ερμηνεύει την κοσμολογική μετατόπιση προς το ερυθρό (cosmological red shift) του φωτός από μακρινούς υπερκαινοφανείς αστέρες (supernovae), όπως κάνει το καθιερωμένο Κοσμολογικό Πρότυπο ΛCDM με q_0 = -0.55 (δηλαδή με αρνητική παράμετρο επιβράδυνσης).