Investigation of gas-surface interaction and intermolecular potential effects in rarefied gas flows via the linearized Boltzmann equation

Abstract

Rarefied gas flows, i.e., gas flows in low pressure / density conditions or/and in micro- and nano-scale systems are far from local equilibrium and they have great theoretical and technological interest with numerous applications (vacuum technology, micro-electromechanical systems, high altitude aerodynamics, porous media, etc.). Under these conditions, the laws of molecular interaction must be considered. Thus, the typical continuum-type fluid mechanics approach is not valid, and the flow must be treated based on kinetic theory via the Boltzmann equation or simplified kinetic model equations. In the present thesis, the objectives include the investigation of the effects of the type of interaction between particles, as well as between particles and surfaces, on the overall quantities characterizing specific non-equilibrium transport phenomena, providing highly accurate results, free, as much as possible, from modeling errors. Therefore, the investigation is based on the computational solution of the Boltzmann equation, which is computationally very intensive, in order to introduce realistic potentials, with classical and quantum scattering. In addition to ab initio, hard sphere, variable hard sphere and Lennard-Jones potentials are considered, while gas-surface scattering kernels include the ones proposed by Maxwell, Cercignani-Lampis and Epstein. Targeted prototype rarefied monatomic gas flow setups, covering certain transport processes, are examined. They include the computation of the transport coefficients of dynamic viscosity and thermal conductivity, the estimation of the so-called velocity slip and temperature jump coefficients and the solution of pressure and temperature driven flow and heat transfer configurations. It is noted that in the extended hydrodynamics theory, the slip and jump coefficients are equally important with the transport coefficients. In all cases, the Boltzmann integro-differential equation is solved, in a very computationally effective manner, via the discrete velocity method in the molecular velocity space and finite differencing in the physical space, using marching schemes. It has been found that the intermolecular potential is of major importance in transport phenomena caused by temperature gradients imposed parallel to the wall (e.g., thermal creep type flows, velocity thermal slip coefficient), where quantum effects must be considered at low temperatures. For example, differences in the transport coefficients of helium between classical and quantum scattering, start to appear at 300K and reach 40% at 1K. The corresponding differences in the velocity thermal slip coefficient reach 15%. On the contrary, the effect of the potential is rather small in pressure driven flows (e.g., Poiseuille type flows, velocity viscous slip coefficient), as well as in heat transfer configurations, with temperature gradients normal to the wall (e.g., Fourier type flow, temperature jump coefficient). When the hard sphere potential is not adequate, it is recommended, instead of the widely-used Lennard – Jones potentials, to apply, at any temperature, the ab initio potential, since it is free of any adjustable parameters and the computational effort is similar. Concerning the gas – surface interaction model, it is concluded that, in the present stage, the Cercignani – Lampis (CL) kernel is the most reliable one to capture simultaneously both momentum and energy accommodation modes. It is noted however, that even with the CL model, it was not possible to match available experimental data with a unique pair of accommodation coefficients in the entire range of the gas rarefaction and further work on this issue is required. It is believed that the present dissertation provides some new theoretical and computational insights in rarefied gas dynamics and also supports the design optimization of devices in microfluidics and vacuum technology.

Οι αραιοποιημένες ροές αερίων, δηλαδή οι ροές αερίων σε συνθήκες χαμηλής πίεσης/πυκνότητας ή/και σε συστήματα μικρο- και νανοκλίμακας αποκλίνουν από την τοπική ισορροπία παρουσιάζοντας μεγάλο θεωρητικό και τεχνολογικό ενδιαφέρον σε πολυάριθμες εφαρμογές (τεχνολογία κενού, μικρο-ηλεκτρομηχανικά συστήματα, αεροδυναμική μεγάλου ύψους, πορώδη μέσα κ.λπ.). Υπό αυτές τις συνθήκες, για την μοντελοποίηση της ροής, πρέπει να ληφθούν υπόψη οι νόμοι που διέπουν τις μοριακές αλληλεπιδράσεις ενώ η τυπική προσέγγιση της ρευστομηχανικής συνεχούς μέσου δεν είναι έγκυρη. Επομένως, η ροή αντιμετωπίζεται με βάση την κινητική θεωρία μέσω της εξίσωσης Boltzmann ή απλούστερων κινητικών μοντέλων. Στην παρούσα διατριβή, οι στόχοι περιλαμβάνουν τη διερεύνηση των επιδράσεων της αλληλεπίδρασης μεταξύ σωματιδίων, καθώς και μεταξύ σωματιδίων και επιφανειών, στα συνολικά μεγέθη που χαρακτηρίζουν συγκεκριμένα φαινόμενα μεταφοράς εκτός ισορροπίας, παρέχοντας αποτελέσματα υψηλής ακρίβειας, απαλλαγμένα από σφάλματα μοντελοποίησης. Επομένως, η διερεύνηση βασίζεται στην υπολογιστική επίλυση της εξίσωσης Boltzmann, η οποία είναι υπολογιστικά πολύ δαπανηρή, προκειμένου να εισαχθούν ρεαλιστικά διαμοριακά δυναμικά όπως τα ab initio, με κλασική και κβαντική σκέδαση. Εκτός των δυναμικών ab initio, εξετάζονται τα δυναμικά σκληρών σφαιρών, σκληρών σφαιρών μεταβλητής διαμέτρου και Lennard-Jones, ενώ στα σύνορα με τα τοιχώματα επιβάλλονται οι συνοριακές συνθήκες Maxwell, Cercignani-Lampis και Epstein. Οι επιδράσεις τόσο των διαμοριακών δυναμικών όσο και των συνοριακών συνθηκών εξετάζονται διεξοδικά επιλύοντας κάποιες πρότυπες ροές μονοατομικών αερίων. Περιλαμβάνονται α) ο υπολογισμός των συντελεστών μεταφοράς όπως του δυναμικού ιξώδους και της θερμικής αγωγιμότητας, β) ο υπολογισμός των συντελεστών ολίσθησης της ταχύτητας και άλματος της θερμοκρασίας και γ) η επίλυση των ροών Poiseuille, θερμικού ερπυσμού, και Fourier. Σημειώνεται ότι στην υδροδυναμική θεωρία, όταν οι συνοριακές συνθήκες μη ολίσθησης δεν είναι πλέον έγκυρες, οι συντελεστές ολίσθησης και άλματος είναι εξίσου σημαντικοί με τους συντελεστές μεταφοράς. Σε όλες τις περιπτώσεις, η ολοκληρο-διαφορική εξίσωση Boltzmann επιλύεται, με πολύ αποτελεσματικό υπολογιστικό τρόπο, μέσω της μεθόδου των διακριτών ταχυτήτων στο χώρο των μοριακών ταχυτήτων και των πεπερασμένων διαφορών στο φυσικό χώρο. Διαπιστώνεται ότι το διαμοριακό δυναμικό είναι μείζονος σημασίας σε φαινόμενα μεταφοράς που προκαλούνται από κλίσεις θερμοκρασίας παράλληλα στο τοίχωμα (π.χ. ροές τύπου θερμικού ερπυσμού, συντελεστής θερμικής ολίσθησης της ταχύτητας) και τα κβαντικά φαινόμενα θα πρέπει να λαμβάνονται υπόψη σε χαμηλές θερμοκρασίες. Για παράδειγμα, οι διαφορές στους συντελεστές μεταφοράς του ηλίου μεταξύ κλασικής και κβαντικής σκέδασης αρχίζουν να εμφανίζονται στους 300K και φτάνουν το 40% στον 1K. Οι αντίστοιχες διαφορές στον συντελεστή θερμικής ολίσθησης της ταχύτητας φθάνουν το 15%. Αντίθετα, η επίδραση του διαμοριακού δυναμικού είναι μάλλον μικρή σε ροές που οδηγούνται από κλίσεις πίεσης (π.χ. ροές τύπου Poiseuille, συντελεστής ιξώδους ολίσθησης ταχύτητας), καθώς και σε φαινόμενα μεταφοράς θερμότητας με κλίσεις θερμοκρασίας κάθετες στο τοίχωμα (π.χ. ροή τύπου Fourier, συντελεστής θερμοκρασιακού άλματος). Όταν το δυναμικό των σκληρών σφαιρών δεν είναι επαρκές, συνιστάται, αντί των ευρέως χρησιμοποιούμενων δυναμικών Lennard-Jones, να εφαρμόζονται, σε οποιαδήποτε θερμοκρασία, τα δυναμικά ab initio, δεδομένου ότι είναι απαλλαγμένα από οποιεσδήποτε παραμέτρους προσαρμογής και η υπολογιστική προσπάθεια είναι παρόμοια. Όσον αφορά το μοντέλο αλληλεπίδρασης αερίου - επιφάνειας, συμπεραίνεται ότι, μέχρι τώρα, οι συνοριακές συνθήκες Cercignani - Lampis (CL) είναι οι πιο αξιόπιστες για την ταυτόχρονη σύλληψη της εναλλαγής ενέργειας και ορμής μεταξύ αερίου τοιχώματος. Σημειώνεται ωστόσο ότι ακόμη και με το μοντέλο CL, δεν είναι δυνατή η πλήρη ταύτιση με τα διαθέσιμα πειραματικά δεδομένα χρησιμοποιώντας ένα ζεύγος συντελεστών προσαρμογής σε όλο το εύρος αραιοποίησης. Επομένως απαιτείται περαιτέρω έρευνα σε αυτήν την κατεύθυνση στο μέλλον. Πιστεύεται ότι η παρούσα διατριβή παρέχει ορισμένες νέες θεωρητικές και υπολογιστικές προσεγγίσεις στη δυναμική των αραιοποιημένων αερίων και υποστηρίζει τη βελτιστοποίηση του σχεδιασμού συσκευών στη μικρορευστομηχανική και την τεχνολογία κενού.