Analysis, optimal management and metastability of stochastic systems in environmental economics

Abstract

In this work, we consider the deterministic and stochastic shallow lake problem. First, we continue the work of Kossioris, Loulakis, Souganidis and we generalise the characterisation of the value function as the constrained viscosity solution of a well-posed problem to include more general recycling rates. Then, we prove rigorously the existence of optimal control, without any restriction in the parameter space. In the stochastic case, the elliptic regularity of the value function allows us to adapt the usual methodology and prove a suitable verification principle. In the deterministic case, we prove a comparison principle for the Hamilton-Jacobi-Bellman equation of the problem and identify the value function as the total benefit which corresponds to the candidate optimal control proposed by the Pontryagin Maximum Principle. Furthermore, we implement a convergent and stable numerical scheme for the computation of the value function to investigate properties of the optimally controlled stochastic shallow lake. This approach permits to derive tails asymptotics for the invariant distribution and to extend results of Grass, Kiseleva, Wagener beyond the small noise limit. In the case where the optimally controlled deterministic lake has two equilibrium points (the oligotrophic and the eutrophic) and a Skiba point, we see the dynamics of its stochastic counterpart as a diffusion in a double-well potential, which depends on the noise intensity via the Hamilton-Jacobi-Bellman correction. In order to study the asymptotic behaviour of the transition time from one well to the other as the noise intensity tends to zero, we consider more general stochastic control problems, which exhibit a metastable behaviour, and we prove a generalisation of the Arrhenius' law for the case of noise-dependent double-well potentials.

Στην παρούσα εργασία, εξετάζουμε το ντετερμινιστικό και στοχαστικό πρόβλημα της ρηχής λίμνης. Αρχικά, επεκτείνουμε τα αποτελέσματα των Kossioris, Loulakis, Souganidis και γενικεύουμε τον χαρακτηρισμό της συνάρτησης αξίας ως λύση ιξώδους ενός καλά τεθειμένου προβλήματος για να συμπεριλάβουμε πιο γενικούς ρυθμούς ανακύκλωσης. Στη συνέχεια, αποδεικνύουμε αυστηρά την ύπαρξη βέλτιστου ελέγχου, χωρίς κανένα περιορισμό στον χώρο των παραμέτρων. Στη στοχαστική περίπτωση, η ελλειπτική ομαλότητα της συνάρτησης αξίας μας επιτρέπει να προσαρμόσουμε τη συνήθη μεθοδολογία και να αποδείξουμε μια κατάλληλη αρχή επαλήθευσης. Στη ντετερμινιστική περίπτωση, αποδεικνύουμε μια αρχή σύγκρισης για την εξίσωση Hamilton-Jacobi-Bellman του προβλήματος και ταυτίζουμε τη συνάρτηση αξίας με το συνολικό όφελος, το οποίο αντιστοιχεί στον υποψήφιο βέλτιστο έλεγχο που προτείνεται από την Αρχή Μεγίστου του Pontryagin. Επιπλέον, εφαρμόζουμε ένα συγκλίνον και ευσταθές αριθμητικό σχήμα για τον υπολογισμό της συνάρτησης αξίας ώστε να διερευνήσουμε τις ιδιότητες της βέλτιστα ελεγχόμενης στοχαστικής ρηχής λίμνης. Η προσέγγιση αυτή επιτρέπει την εξαγωγή ασυμπτωτικών συμπερασμάτων για τις ουρές της αναλλοίωτης κατανομής και την επέκταση των αποτελεσμάτων των Grass, Kiseleva, Wagener πέρα από το όριο του μικρού θορύβου. Στην περίπτωση όπου η βέλτιστα ελεγχόμενη ντετερμινιστική λίμνη έχει δύο σημεία ισορροπίας (το ολιγοτροφικό και το ευτροφικό) και ένα σημείο Skiba, βλέπουμε τη δυναμική του αντίστοιχου στοχαστικού συστήματος ως μια διάχυση σε ένα δυναμικό διπλού πηγαδιού, το οποίο εξαρτάται από την ένταση του θορύβου μέσω της διόρθωσης της Hamilton-Jacobi-Bellman εξίσωσης. Προκειμένου να μελετήσουμε την ασυμπτωτική συμπεριφορά του χρόνου μετάβασης από το ένα πηγάδι στο άλλο, καθώς η ένταση του θορύβου τείνει στο μηδέν, εξετάζουμε γενικότερα προβλήματα στοχαστικού ελέγχου, τα οποία παρουσιάζουν μεταευσταθή συμπεριφορά, και αποδεικνύουμε μια γενίκευση του νόμου του Arrhenius για την περίπτωση των εξαρτώμενων από το θόρυβο δυναμικών διπλού πηγαδιού.