Κατασκευαστική περιγραφική θεωρία συνόλων και εφαρμογές στην ανάλυση

Abstract

Η περιγραφική θεωρία συνόλων ασχολείται με την μελέτη της δομής των ορίσιμων συνόλων σε Πολωνικούς χώρους. Οι απαρχές της βρίσκονται στον Lebesque ή και ακόμα νωρίτερα στον Cantor. Αυτή η περιοχή αποτελεί πλέον ένα κεντρικό κομμάτι της μοντέρνας θεωρίας συνόλων. Η περιγραφική θεωρία συνόλων έχει ευρείες εφαρμογές σε άλλες περιοχές των μαθηματικών όπως η θεωρία χώρων Banach, η τοπολογία, η συνδυαστική, η πραγματική και αρμονική ανάλυση και η λογική. Ένα σημαντικό κομμάτι αυτής της περιοχής είναι η κατασκευαστική περιγραφική θεωρία συνόλων. Αυτή η θεωρία συνδυάζει ιδέες από την θεωρία υπολογισιμότητας που έχει αναπτυχθεί κυρίως κατά τη δεκαετία 1950-1960 από τους Kleene και Kreisel και κλασικές μεθόδους από την περιγραφική θεωρία συνόλων. Το αποτέλεσμα είναι μια νέα και βαθύτερη κατανόηση της ορισιμότητας των συνόλων σε Πολωνικούς χώρους. Αυτή η διατριβή πραγματεύεται την κατασκευαστική θεωρία καθώς και εφαρμογές αυτής της θεωρίας στην ανάλυση. Στο πρώτο ερευνητικό κομμάτι αυτής της διατριβής αναπτύσσουμε την κατασκευαστική περιγραφική θεωρία συνόλων σε τυχαίους Πολωνικούς χώρους και δίνουμε την κατασκευαστική εκδοχή μερικών κλασικών θεωρημάτων της γενικής τοπολογίας. Στο δεύτερο ερευνητικό κομμάτι δίνουμε αποτελέσματα που αφορούν μόνο κλασικές έννοιες και ειδικότερα δίνουμε εφαρμογές στη θεωρία χώρων Banach. Η ερευνητική εργασία αυτής της διατριβής στηρίζεται στα άρθρα [7] και [8].