Μελέτη εξισώσεων πεδίου σε γενικευμένα κοσμολογικά μοντέλα και ασθενές πεδίο

Abstract

In the first part of this work, a short review is presented on the recent development of applications of Finsler, Finsler-like and Finsler-Lagrange geometries. The role of Finsler geometry in physical considerations is discussed, where the local anisotropy is included in the structure of gravitation and cosmology. Next, the basic mathematical tools needed for understanding this work are given. Let us note that a fundamental knowledge of differential geometry is required by the reader.A geometrical extension of General Relativity (GR) is considered by introducing the concept of local anisotropy, i.e. a direct dependence of geometrical quantities on observer 4−velocity. We investigate the dynamics of gravitational field and particles in a generalized framework of a Lorentz tangent bundle and, by variating an appropriate action for each case, we obtain generalized forms of paths and generalized field equations for a Sasaki type metric. In this framework, we consider a metric on the tangent Lorentz bundle as the sum of an h-Riemannian metric structure and a weak anisotropic perturbation and we obtain the classic Einstein equations corrected by small locally anisotropic perturbations. Moreover, extended Raychaudhuri equations are studied in this framework of Finsler-like extensions. Canonical momentum and energy-momentum equation are also generalized with respect to to their GR counterparts. Quantization of this equation leads to a generalization of the Klein-Gordon equation and dispersion relation for a scalar field. In this model, the accelerated expansion of the universe can be attributed to the geometry itself. A cosmological bounce is modeled with the introduction of an anisotropic scalar field. Additionally, the electromagnetic field equations are directly incorporated in this framework. Furthermore, we extend for the first time the spherically symmetric Schwarzschild and Schwarzschild - de Sitter solutions with a Finsler-Randers-type perturbation which is generated by a covector $A_\mu$. This gives a locally anisotropic character to the metric and induces a deviation from the Riemannian models of gravity. We apply the generalized field equations to the perturbed metric and derive the dynamics for the covector $A_\mu$. Finally, we find the timelike, spacelike and null paths on the Schwarzschild-Randers spacetime, we solve the timelike ones numerically and we compare them with the classic geodesics of general relativity. The obtained solutions are new and they enrich the corresponding literature.In the next chapter, we present the foundations of generalized scalar-tensor theories arising from vector bundle constructions, and we study the kinematic, dynamical and cosmological consequences. In particular, over a pseudo-Riemannian space-time base manifold, we define a fibre structure with two scalar fields. The resulting space is a 6-dimensional vector bundle endowed with a non-linear connection. We provide the form of the geodesics and the Raychaudhuri and general field equations, both in Palatini and metrical method. When applied at a cosmological framework, this novel geometrical structure induces extra terms in the modified Friedmann equations, leading to the appearance of an effective dark energy sector, as well as of an interaction of the dark mater sector with the metric. We show that we can obtain the standard thermal history of the universe, with the sequence of matter and dark-energy epochs, and furthermore the effective dark-energy equation-of-state parameter can lie in the quintessence or phantom regimes, or exhibit the phantom-divide crossing. Furthermore, applying the scenario at early times we see that one can acquire an exponential de Sitter solution, as well as obtain an inflationary realization with the desired scale-factor evolution.

Στο πρώτο μέρος αυτής της εργασίας, παρουσιάζεται μια σύντομη ανασκόπηση σχετικά με την πρόσφατη ανάπτυξη εφαρμογών των γεωμετριών Finsler, Finsler-like και Finsler-Lagrange. Συζητείται ο ρόλος της γεωμετρίας Finsler στις φυσικές εκτιμήσεις, στις οποίες η τοπική ανισοτροπία περιλαμβάνεται στη δομή της βαρύτητας και της κοσμολογίας. Στη συνέχεια, δίνονται τα βασικά μαθηματικά εργαλεία που χρειάζονται για την κατανόηση αυτής της εργασίας. Σημειώνουμε πως μια θεμελιώδης γνώση διαφορικής γεωμετρίας προαπαιτείται από τον αναγνώστη.Μια γεωμετρική επέκταση της Γενικής Σχετικότητας (GR) θεωρείται εισάγοντας την έννοια της τοπικής ανισοτροπίας, δηλαδή μια άμεση εξάρτηση γεωμετρικών μεγεθώναπό την 4−ταχύτητα του παρατηρητή. Διερευνούμε τη δυναμική του βαρυτικού πεδίου και των σωματιδίων σε ένα γενικευμένο πλαίσιο μίας εφαπτομένης Lorentz δέσμης και, μεταβάλλοντας μια κατάλληλη δράση για κάθε περίπτωση, λαμβάνουμε γενικευμένες μορφές τροχιών και γενικευμένες εξισώσεις πεδίου για μια μετρική τύπου Sasaki. Σε αυτό το πλαίσιο, θεωρούμε μια μετρική στην εφαπτόμενη δέσμη ως το άθροισμα μιας μετρικής δομής h-Riemann και μιας ασθενώς ανισοτροπικής διαταραχής και λαμβάνουμε τις κλασικές εξισώσεις του Einstein διορθωμένες με μικρές τοπικά ανισοτροπικές διαταραχές. Επιπλέον, οι εκτεταμένες εξισώσεις Raychaudhuri μελετώνται σε αυτό το πλαίσιο επεκτάσεων τύπου Finsler. Η κανονική ορμή και η εξίσωση ενέργειας-ορμής γενικεύονται επίσης σε σχέση με τις αντίστοιχες της GR. Η κβάντωση αυτής της εξίσωσης οδηγεί σε μια γενίκευση της εξίσωσης Klein-Gordon και της σχέσης διασποράς για ένα βαθμωτό πεδίο. Σε αυτό το μοντέλο, η επιταχυνόμενη διαστολή του σύμπαντος μπορεί να αποδοθεί στην ίδια τη γεωμετρία. Μια κοσμολογική αναπήδηση μοντελοποιείται με την εισαγωγή ενός τοπικά ανισoτροπικού βαθμωτού πεδίου. Επιπλέον, οι εξισώσεις ηλεκτρομαγνητικού πεδίου ενσωματώνονται άμεσα σε αυτό το πλαίσιο.Επιπρόσθετα, επεκτείνουμε για πρώτη φορά τις σφαιρικά συμμετρικές λύσεις Schwarzschild και Schwarzschild - de Sitter με διαταραχή τύπου Finsler-Randers που δημιουργείται απόένα συναλλοίωτο διάνυσμα $A_\mu$. Αυτό δίνει έναν τοπικά ανισοτροπικό χαρακτήρα στη μετρική και προκαλεί απόκλιση από τα μοντέλα της βαρύτητας Riemann. Εφαρμόζουμε τις γενικευμένες εξισώσεις πεδίου στη διαταραγμένη μετρική και εξάγουμε τη δυναμική για το συναλλοίωτο διάνυσμα $A_\mu$. Τέλος, βρίσκουμε τις χρονικές, χωρικές και φωτοειδείς τροχιές στον χωροχρόνο Schwarzschild-Randers, λύνουμε αριθμητικά τις χρονικές και τις συγκρίνουμε με τις κλασικές γεωδαισιακές της γενικής σχετικότητας. Οι λύσεις που λαμβάνονται είναι νέες και εμπλουτίζουν την αντίστοιχη βιβλιογραφία.Στο επόμενο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε τα θεμέλια των γενικευμένων θεωριών scalar-tensor που προκύπτουν από κατασκευές σε διανυσματικές δέσμες και μελετάμε τις κινηματικές, δυναμικές και κοσμολογικές συνέπειες. Συγκεκριμένα, σε μια ψευδο-Riemann χωροχρονική πολλαπλότητα βάσης, ορίζουμε μια νηματική δέσμη με δύο βαθμωτούς νηματικούς βαθμούς ελευθερίας. Ο χώρος που προκύπτει είναι μια 6-διάστατη διανυσματική δέσμη εφοδιασμένη με μια μη γραμμική συνοχή. Παρέχουμε τη μορφή των γεωδαισιακών και των εξισώσεων Raychaudhuri, καθώς και τις γενικευμένες εξισώσεις πεδίου με την Palatini και τη μετρική μέθοδο. Όταν εφαρμόζεται σε ένα κοσμολογικό πλαίσιο, αυτή η νέα γεωμετρική δομή παράγει επιπλέον όρους στις τροποποιημένες εξισώσεις Friedmann, οδηγώντας στην εμφάνιση ενός φαινόμενου τομέα σκοτεινής ενέργειας, καθώς και τομέα αλληλεπίδρασης της σκοτεινής ύλης με τη μετρική. Δείχνουμε ότι μπορούμε να λάβουμε την τυπική θερμική ιστορία του σύμπαντος, με την ακολουθία της ύλης και των εποχών σκοτεινής ενέργειας, και επιπλέον πως η παράμετρος της καταστατικής εξίσωσης της φαινόμενης σκοτεινής ενέργειας μπορεί να βρεθεί στις περιοχές quintessence ή phantom, ή να υφίσταται τη διέλευση phantom-divide. Επιπλέον, από την εφαρμογή του σεναρίου σε πρώιμους χρόνους βλέπουμε ότι μπορεί κανείς να αποκτήσει μια εκθετική λύση de Sitter, καθώς καιμια πληθωριστική εποχή με την επιθυμητή εξέλιξη του συντελεστή κλίμακας.