Διαχείριση υδατικών πόρων σε περιβάλλον ασαφούς λογικής: εύρεση υδατικού ισοζυγίου σε ελεύθερο υδροφορέα

Abstract

The aim of this Thesis was initially to develop and present a numerical method of finite differences in fuzzy environment, the complete application of fuzzy logic to the real physical problem of hydraulic communication between unconfined aquifer and the artificial lake of Hilarion and as well as improving the computational process of the fuzzy numerical scheme. The study area is located in the Aquatic District (09) of Western Macedonia and more specifically in Aliakmonas river basin. The main tool of the Thesis was the method of fuzzy logic and in particular the field of fuzzy partial differential equations. The fuzzy partial differential equations have proved to be a valuable and effective tool to incorporate the ambiguities and uncertainties of this particular problem, especially in the auxiliary conditions, and thus lead to more qualitative an accurate results. The physical problem of non-steady flow in a semi-infinite unconfined aquifer is described by the second order nonlinear partial differential equation known in the international literature as Boussinesq’s equation. The nonlinearity of the equation has so far not allowed a general analytical solution except in some cases with specific assumptions for the initial and boundary conditions. For this reason this problems are linearized and solved by numerical methods. In the present work it was possible to find the fuzzy analytical solution using the Hukuhara difference and the generalized Hukuhara derivative and this solution was used to obtain a first knowledge of the problem and also as a measure of comparison of results obtained from the fuzzy Crank-Nicolson scheme. The physical problem was solved for two different cases of change in surface level of the Hilarion artificial lake, one for rise and one for a downfall of 10 meters, and a 15% fuzziness rate was included in the aquifer auxiliary conditions. The results of the fuzzy analytical solution and the fuzzy Crank-Nicolson scheme were present a satisfactory approach by taking the distances between the fuzzy numbers applying the transformed Haussdorff metric. The very good deal of the results demonstrates the accuracy and stability of the fuzzy Crank-Nicolson scheme by making the proposed method perfectly suitable for scientific, and not only, use in physical problems. Also from the overall application of the fuzzy difference scheme with Thomas's most commonly used method, it has been observed that treating large triangular matrices resulting from the computation was a rather time consuming process. This drawback was faced with a transformed analytic inverse of the tridiagonal system. Comparison of the results with the corresponding results of Thomas' algorithm showed that the results fully match, which proves the accuracy of the proposed inversion method and as a result of the calculations simplicity, its clear supremacy regarding the speed of the computational process over the Thomas method. Applying the fuzzy logic to the two cases and calculating the volumes of input and output water in the aquifer have shown that rapid changes in lake surface level due to the management of the area's hydroelectric dam must be normalized so that the aquifer to keep in balance and at a constant piezometry like the surface water body of the artificial lake not to have environmental and ecological impacts in the future as well as surface soil erosion phenomena.

Ο σκοπός της παρούσας Διατριβής ήταν αρχικά η ανάπτυξη και παρουσίαση αριθμητικού σχήματος πεπερασμένων διαφορών μετασχηματισμένο σε ασαφές περιβάλλον, η πλήρης εφαρμογή του στο πραγματικό φυσικό πρόβλημα της υδραυλικής επικοινωνίας μεταξύ ελεύθερου υδροφορέα και της τεχνητής λίμνης του Ιλαρίωνα καθώς επίσης και η βελτίωση της υπολογιστικής διαδικασίας του ασαφούς αριθμητικού σχήματος. Η περιοχή έρευνας τοποθετείται στο Υδατικό Διαμέρισμα (09) Δυτικής Μακεδονίας και πιο συγκεκριμένα στην ΛΑΠ Αλιάκμονα. Κύριο εργαλείο της Διατριβής αποτέλεσε η μέθοδος της ασαφούς λογικής και συγκεκριμένα ο κλάδος των ασαφών μερικών διαφορικών εξισώσεων. Οι ασαφείς μερικές διαφορικές εξισώσεις αποδείχθηκαν πολύτιμο και αποτελεσματικό εργαλείο ώστε να συμπεριλάβουν τις ασάφειες και τις ανακρίβειες που παρουσιάζει το συγκεκριμένο πρόβλημα, κυρίως ως προς τις βοηθητικές συνθήκες και να οδηγήσουν με αυτόν τον τρόπο σε πιο ποιοτικά και ακριβή αποτελέσματα. Το φυσικό πρόβλημα της μη μόνιμης ροής σε έναν ημιάπειρο ελεύθερο υδροφορέα περιγράφεται από τη μη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση δευτέρου βαθμού, παραβολικού τύπου γνώστη στην διεθνή βιβλιογραφία σαν εξίσωση του Boussinesq. Η μη γραμμικότητα της εξισώσεως δεν έχει επιτρέψει μέχρι και σήμερα την εύρεση μια γενικής αναλυτικής λύσεως εκτός από ορισμένες περιπτώσεις με ειδικές παραδοχές για τις αρχικές και οριακές συνθήκες. Για το λόγο αυτό τα εν λόγω προβλήματα γραμμικοποιούνται και αντιμετωπίζονται με αριθμητικές μεθόδους. Στην παρούσα εργασία ήταν δυνατή η εύρεση της ασαφούς αναλυτικής λύσεως χρησιμοποιώντας την Hukuhara διαφορά και την γενικευμένη Hukuhara μερική διαφορισιμότητα και η εν λόγω λύση χρησιμοποιήθηκε για την απόκτηση μιας πρώτης εικόνας του προβλήματος αλλά και ως μέτρο σύγκρισης των αποτελεσμάτων που προέκυψαν από το ασαφές υπολογιστικό σχήμα Crank-Nicolson. Το φυσικό πρόβλημα επιλύθηκε για δυο διαφορετικές υποθέσεις της μεταβολής της στάθμης της τεχνητής λίμνης του Ιλαρίωνα, μία για άνοδο και μία για κάθοδο 10 μέτρων και συμπεριλήφθηκε ένα ποσοστό ασάφειας της τάξης του 15% στις βοηθητικές συνθήκες του υδροφορέα. Τα αποτελέσματα της ασαφούς αναλυτικής λύσης και του ασαφούς υπολογιστικού σχήματος Crank-Nicolson παρουσίασαν ικανοποιητική προσέγγιση μεταξύ τους λαμβάνοντας ως μέτρο σύγκρισης τις αποστάσεις μεταξύ των ασαφών αριθμών εφαρμόζοντας την μετασχηματισμένη μετρική Haussdorff. Η πολύ καλή συμφωνία των αποτελεσμάτων αποδεικνύει την ακρίβεια και ευστάθεια του ασαφούς σχήματος Crank-Nicolson καθιστώντας την προτεινόμενη μέθοδο απόλυτα κατάλληλη για χρήση σε παρόμοια φυσικά προβλήματα. Επίσης από τη συνολική εφαρμογή του ασαφούς υπολογιστικού σχήματος με την πλέον διαδεδομένη μέθοδο του Thomas παρατηρήθηκε ότι η μεταχείριση των μεγάλων τριδιαγωνικών μητρώων που προκύπτουν από το υπολογιστικό σχήμα αποτελούσε μια αρκετά χρονοβόρα διαδικασία. Το μειονέκτημα αυτό αντιμετωπίστηκε μέσω μιας μετασχηματισμένης αναλυτικής αντιστροφής του τριδιαγωνικού μητρώου. Η σύγκριση των αποτελεσμάτων με τα αντίστοιχα αποτελέσματα του αλγορίθμου του Thomas έδειξε ταύτιση τον αποτελεσμάτων γεγονός που αποδεικνύει την ακρίβεια της προτεινόμενης μεθόδου αντιστροφής και λόγω της απλότητας των υπολογισμών τη σαφή υπεροχή της ως προς την ταχύτητα της υπολογιστικής διαδικασίας έναντι της μεθόδου του Thomas. Η εφαρμογή της ασαφούς λογικής στις δυο υποθέσεις και ο υπολογισμός των όγκων νερού που εισέρχονται και εξέρχονται από τον υδροφορέα κατέδειξαν πως οι απότομες μεταβολές της στάθμης της λίμνης, λόγω της διαχείρισης του υδροηλεκτρικού φράγματος της περιοχής, πρέπει να ομαλοποιηθούν ώστε και ο υπόγειος ελεύθερος υδροφορέας να διατηρείται σε μια ισορροπία και σε μια σταθερή πιεζομετρία όπως και το επιφανειακό υδάτινο σύστημα της τεχνητής λίμνης να μη δημιουργήσει στο μέλλον περιβαλλοντικές και οικολογικές επιπτώσεις αλλά ακόμα και φαινόμενα διάβρωσης των επιφανειακών εδαφικών στρωμάτων.