Μαθηματικές μοντελοποιήσεις προβλημάτων κυματικής διάδοσης σε μη γραμμικά ηλεκτρομαγνητικά μεταϋλικά

Abstract

In this thesis, we present aspects on mathematical modeling and physical phenomena governing electromagnetic wave propagation in nonlinear metamaterials. Electromagnetic metamaterials with simultaneously negative effective dielectric permittivity ε and magnetic permeability μ (double-negative or left-handed or negative-index metamaterials) have a long history going back to the seminal paper of Veselago in 1968. Such metamaterials exhibit unusual and remarkable effects, like, e.g., the reversal of Snell's law, the support of backward-propagating waves, and the possibility of obtaining a perfect lens. Nonlinear left-handed metamaterials are also very useful in tunable structures with intensity-controlled transmission and in switching the material properties from left- to right-handed and back. Initially, the metamaterials under consideration are described by a Drude-Lorentz frequency model of the linear parts and a Kerr-type behavior of the nonlinear parts of ε and μ, respectively. Wave propagation in lossy nonlinear metamaterials is analytically investigated by means of perturbation methods. We show that, in the left-handed band of the metamaterial, wave propagation is governed by a higher-order nonlinear Schrödinger (NLS) equation, and derive analytically ultra-short bright or dark solitons solutions. Then, we investigate wave propagation in the frequency band gaps, i.e., in the frequency regimes where ε and μ have different signs, and, hence, linear waves are evanescent. In these band gaps, localization of waves is possible if a nonlinearity is induced in the metamaterial medium. We derive a dissipative short-pulse equation (DSPE) governing ultrashort pulses that may be formed in the band gaps and discuss its solitons solutions. In both cases, dissipation is described by linear terms, which lead to an exponential decay of the solutions. The decay rates, i.e., the inverses of the linear loss coefficients in these two models, are found in terms of the dielectric and magnetic properties of the metamaterial. Furthermore, a nonlinear (Kerr-type) electromagnetic metamaterial, characterized by a double-Lorentz model of its frequency-dependent linear effective dielectric permittivity and magnetic permeability, is considered. The formation of gap solitons in the low- and high-frequency band gaps of this metamaterial is investigated analytically. Evolution equations governing the gap solitons, of the form of a nonlinear Klein-Gordon and a nonlinear Schrödinger equation, are obtained and the structure of their solutions is discussed. Finally, we investigate wave propagation in electromagnetic band gaps (EBGs), i.e. in frequency regimes where ε and μ have opposite sign, and are characterized by Lorentz-Lorentz behavior respectively. We use a multiple scales method and derive a dissipative short-pulse equation (DSPE).

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή παρουσιάζονται πτυχές της μαθηματικής μοντελοποίησης και των φυσικών φαινομένων που διέπουν την διάδοση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε μη γραμμικά μεταϋλικά. Τα ηλεκτρομαγνητικά μεταϋλικά με ταυτόχρονα αρνητική ενεργή διηλεκτρική επιτρεπτότητα ε και μαγνητική διαπερατότητα μ (διπλά αρνητικά ή αριστερόστροφα ή αρνητικού δείκτη μεταϋλικά) έχουν μακρά ιστορία που φτάνει στην πρωτότυπη εργασία του Veselago το 1968. Τέτοια μεταϋλικά παρουσιάζουν ασυνήθιστα και αξιοσημείωτα φαινόμενα, όπως π.χ. την αντιστροφή του νόμου Snell, την υποστήριξη οπισθοδιαδιδόμενων κυμάτων και τη δυνατότητα σχηματισμού τέλειου φακού. Τα μη γραμμικά αριστερόστροφα μεταϋλικά είναι επίσης πολύ χρήσιμα σε συντονιζόμενες δομές (tunable structures) μετάδοσης ελεγχόμενες από την ένταση του πεδίου και στην εναλλαγή των ιδιοτήτων του υλικού από αριστερόστροφο σε δεξιόστροφο και αντιστρόφως. Αρχικά, τα εξεταζόμενα μεταϋλικά περιγράφονται από ένα συχνοτικό μοντέλο Drude-Lorentz όσον αφορά τα γραμμικά τμήματά τους και μια συμπεριφορά τύπου Kerr για τα μη γραμμικά τμήματα των ε και μ αντίστοιχα. Η διάδοση των κυμάτων σε μη γραμμικά μεταϋλικά με απώλειες διερευνάται αναλυτικά μέσω μεθόδων της Θεωρίας Διαταραχών. Δείχνουμε ότι η αριστερόστροφη ζώνη της διάδοσης κυμάτων στα μεταϋλικά διέπεται από μια μη γραμμική ανώτερης τάξης εξίσωση Schrödinger (nonlinear Schrödinger (NLS) equation). Εξάγονται αναλυτικά υπερβραχείες φωτεινές ή σκοτεινές σολιτονικές λύσεις της εν λόγω εξίσωσης. Στη συνέχεια, διερευνούμε τη διάδοση των κυμάτων στα χάσματα της ζώνης συχνοτήτων, δηλαδή, στις περιοχές συχνοτήτων όπου τα ε και τα μ έχουν αντίθετα πρόσημα και επομένως τα γραμμικά κύματα είναι αποσβεννύμενα. Σε αυτές τις ζώνες χασμάτων, είναι δυνατός ο εντοπισμός των κυμάτων εάν προκληθεί μη γραμμικότητα στο μεταϋλικό μέσο. Εξάγουμε μια εξίσωση υπερβραχέων παλμών με απώλειες (dissipative short pulse equation: DSPE), που καθορίζει τους υπερβραχείς παλμούς, οι οποίοι δύναται να σχηματιστούν στις ζώνες των συχνοτικών χασμάτων και παρουσιάζουμε τις σολιτονικές λύσεις τους. Και στα δύο χάσματα, η διάδοση περιγράφεται με γραμμικούς όρους, οι οποίοι οδηγούν σε εκθετική απόσβεση του λύσεων. Οι ρυθμοί απόσβεσης, δηλαδή, οι αντίστροφοι των συντελεστών γραμμικών απωλειών σε αυτά τα δύο μοντέλα, βρίσκονται σε όρους των διηλεκτρικών και μαγνητικών ιδιοτήτων του μεταϋλικού. Επίσης, μελετάμε ένα μη γραμμικό (τύπου Kerr) ηλεκτρομαγνητικό μεταϋλικό, το οποίο χαρακτηρίζεται από ένα μοντέλο Lorentz-Lorentz, όσον αφορά τη συχνoτικά εξαρτώμενη συνάρτηση της γραμμικής ενεργής διηλεκτρικής επιτρεπτότητας και μαγνητικής διαπερατότητάς του. Εξετάζεται αναλυτικά ο σχηματισμός σολιτονίων χασμάτων στις ζώνες χασμάτος χαμηλών και υψηλών συχνοτήτων αυτού του μεταϋλικού. Οι εξισώσεις εξέλιξης που διέπουν τα σολιτόνια χασμάτων, έχουν τη μορφή μιας μη γραμμικής εξίσωσης Klein-Gordon και μιας μη γραμμικής εξίσωσης Schrödinger. Γίνεται αναφορά στη δομή των λύσεων αυτών των εξισώσεων. Τέλος, διευρευνούμε τη διάδοση των κυμάτων στα ηλεκτρομαγνητικά χάσματα συχνοτήτων (electromagnetic band gaps: EBGs), δηλαδή, στις περιοχές συχνοτήτων όπου τα ε και μ έχουν αντίθετο πρόσημο, και χαρακτηρίζονται από συμπεριφορά Lorentz-Lorentz, αντίστοιχα. Χρησιμοποιούμε μια υπόθεση πολλαπλών κλίμακων και παράγουμε εξισώσεις βραχέων παλμών με απώλειες (DSPEs).