Η ασυνεχής μέθοδος Galerkin για συστήματα μη-γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων παραβολικού τύπου και εφαρμογές: ευστάθεια, και εκτιμήσεις σφαλμάτων

Abstract

The subject of this doctoral dissertation concerns the problems of Numerical Analysis for systems of non-linear parabolic equations of predator-prey type with applications in Biology. Specifically we study: 1) discontinuous time method for Galerkin temporal discretization in combination with 2) classical finite elements for spatial discretization. We examine the stability properties of the above discrete shapes for smooth and non-smooth data as well as the dependence of these estimates in relation to the physical parameters of the system, and in particular in relation to the diffusion parameters. Error estimates for the difference between discrete and continuous system solution are also studied. These estimates are confirmed by the extensive numerical results presented in the last chapter of the paper. The predator problem is described as follows:For given initial conditions u0, v0 that describe the initial state of two different predator-prey populations, we look for solutions (u, v) that is, the evolution of the populations satisfied by a conjugate system of differential equations. More specifically, the aim of this work is to present results for all three main forms of predator-prey models: 1. Ivlev Function: h (au) = 1 - e − au, u> 0, a> 0 2. Holling Type II function: 3. Holling Type III Function: where u represents the density of prey, v the number of hunters. The main results of the dissertation: It is pointed out that the technique presented is applied to fully discrete superior order schemes, ie the case of Forward / Backward Euler schemes is not considered exclusively for temporal discretization. Although the use of fully discrete superior order schemes significantly increases the technical difficulty of the analysis, it is computationally expected that after a short period of time, the parabolic nature of the problem acts as a smoother, allowing the use of fully discrete schemes. Nevertheless, the stability estimates presented are valid with low normality assumptions for the problem data. The proof is based on techniques developed for discontinuous Galerkin in combination with a suitable boot-strap argument to ensure the decoupling of the two equations. Then, by constructing appropriate auxiliary spatio-temporal projections, we prove appropriate error estimates of the format:|| point approximation error || L2 (Ω) + || error || L2 (0, T; H1 (Ω)) + || jumps error || L2 (Ω) ≤ C (|| Optimal approximation errors || L2 (0, T; H1 (Ω)) + || initial value errors ||. The smoothness of the solutions (u, v) is as follows:(u,v) ∈ L2(0,T;H1(Ω)) ∩ H1(0,T;H1(Ω)∗) ∩ L∞(0,T;L∞(Ω)).The estimates of the above inequality are the best in terms of the energy norm.

Το αντικείμενο της παρούσας διδακτορικής διατριβής αφορά τα προβλήματα Αριθμητικής Ανάλυσης για συστήματα μη γραμμικών παραβολικών εξισώσεων τύπου predator-prey με εφαρμογές στη Βιολογία. Συγκεκριμένα μελετούμε:1)ασυνεχή χρονικά μέθοδο για την χρονική διακριτοποίηση Galerkin σε συνδυασμό με 2)κλασικά πεπερασμένα στοιχεία για την χωρική διακριτοποίηση. Εξετάζουμε τις ιδιότητες ευστάθειας των ανωτέρω διακριτών σχημάτων για ομαλά και μη ομαλά δεδομένα καθώς και την εξάρτηση των εκτιμήσεων αυτών σε σχέση με τις φυσικές παραμέτρους του συστήματος, και ιδιαίτερα σε σχέση με τις παραμέτρους διάχυσης. Επίσης μελετώνται εκτιμήσεις σφαλμάτων για τη διαφορά μεταξύ της διακριτής και της συνεχούς λύσης του συστήματος. Οι εκτιμήσεις αυτές επιβεβαιώνονται από τα εκτεταμένα αριθμητικά αποτελέσματα που παρουσιάζονται στο τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας. Το πρόβλημα θηρευτή-θηράματος περιγράφεται ως εξής: Για δοσμένες αρχικές συνθήκες u0,v0 που περιγράφουν την αρχική κατάσταση δύο διαφορετικών πληθυσμών θηρευτή-θηράματος, αναζητούμε λύσεις (u,v) δηλαδή την εξέλιξη των πληθυσμών που ικανοποιεί ένα συζευγμένο σύστημα διαφορικών εξισώσεων. Πιο συγκεκριμένα, ο στόχος της εργασίας είναι η παρουσίαση αποτελεσμάτων και για τις τρεις κύριες μορφές μοντέλων θηρευτή-θηράματος: 1. Συναρτησοειδές του Ivlev: h(au) = 1 − e−au, u > 0,a > 02. Συναρτησοειδές Holling Type II: 3. Συναρτησοειδές Holling Type III: όπου u αντιπροσωπεύει την πυκνότητα των θηραμάτων, v το πλήθος των κυνηγών. Τα κύρια αποτελέσματα της διατριβής: Επισημαίνεται πως η τεχνική που παρουσιάζεται εφαρμόζεται σε πλήρως διακριτοποιημένα σχήματα ανώτερης τάξης, δηλαδή δεν εξετάζεται αποκλειστικά η περίπτωση σχημάτων της μορφής Forward/Backward Euler για την χρονική διακριτοποίηση. Παρόλο που η χρήση πλήρως διακριτοποιημένων σχημάτων ανώτερης τάξης, αυξάνει σημαντικά την τεχνική δυσκολία της ανάλυσης, υπολογιστικά αναμένεται πως μετά από την πάροδο ενός μικρού χρονικού διαστήματος, ο παραβολικός χαρακτήρας του προβλήματος δρα εξομομαλυντικά, επιτρέποντας την χρήση πλήρως διακριτών σχημάτων. Παρ΄ όλα αυτά, οι εκτιμήσεις ευστάθειας που παρουσιάζονται ισχύουν με χαμηλές υποθέσεις ομαλότητας για τα δεδομένα του προβλήματος. Η απόδειξη στηρίζεται σε τεχνικές που έχουν αναπτυχθεί για ασυνεχείς Galerkin σε συνδυασμό με ένα κατάλληλο boot-strap επιχείρημα ώστε να εξασφαλιστεί η αποσύζευξη των δύο εξισώσεων. Στη συνέχεια κατασκευάζοντας κατάλληλες βοηθητικές χωρο-χρονικές προβολές αποδεικνύουμε κατάλληλες εκτιμήσεις σφάλματος της μορφής:||σφάλμα προσέγγισης κατά σημείο ||L2(Ω) + ||σφάλμα||L2(0,T;H1(Ω)) + ||σφάλμα jumps||L2(Ω) ≤ C( ||Σφάλματα βέλτιστης προσέγγισης ||L2(0,T;H1(Ω)) + ||σφάλματα αρχικών τιμών|| . Η ομαλότητα των λύσεων (u,v) είναι η ακόλουθη:(u,v) ∈ L2(0,T;H1(Ω)) ∩ H1(0,T;H1(Ω)∗) ∩ L∞(0,T;L∞(Ω)).Οι εκτιμήσεις της παραπάνω ανισότητας είναι οι βέλτιστες ως προς την ενεργειακή νόρμα.