Πολλαπλά καθολικές συναρτήσεις

Abstract

In the present thesis we are interested in universality phenomena. To be more explicit, if we consider a sequence of operators T_n: X to Y, where X and Y are metric spaces, an element x in X is called universal if every element of Y can be approximated by a subsequence of (T_n x). We consider X:=H(Ω) to be the space all of holomorphic functions in a simply connected domain Ω of the complex plane (with the topology of uniform convergence on compacta). Then we study classes of holomorphic functions, such that the pairs (S_n(f), S_{λ_n}(f)) perform approximations (where S_n(f) is the sequence of partial sums of the Taylor expansion of f, around a point ζ in Ω and (λ_n) is a strictly increasing sequence of positive integers). These functions are universal elements for a suitable sequence of operators. We also work on the space of real, infinitely differentiable functions and we study the real Taylor (backward) shift operator with center 0: T(f)(x):=[f(x)-f(0)]/x, for x not equal to 0 and T(f)(0):=f'(0). Our aim is to introduce a notion of multiple universality for the real Taylor shift operator. Lastly, we will prove that this class of universal elements has an interpolation property: given a sequence of real numbers without accumulation points, there exists a function in this class having prescribed values at the points of the sequence.

Η ερευνητική μας δραστηριότητα αφορά φαινόμενα καθολικότητας. Αναφερόμαστε σε φαινόμενα όπου μια συλλογή αντικειμένων που σχετίζεται με ένα στοιχείο πραγματοποιεί προσεγγίσεις. Συγκεκριμένα, αν έχουμε μια ακολουθία τελεστών (T_n) μεταξύ δύο μετρικών χώρων X και Y, ένα στοιχείο x του X λέγεται καθολικό αν κάθε στοιχείο του Y μπορεί να προσεγγιστεί από κάποια υπακολουθία της (T_n x). Ας θεωρήσουμε X:=H(Ω) τον χώρο των ολόμορφων συναρτήσεων σε απλά συνεκτικό χωρίο Ω του μιγαδικού επιπέδου (με την τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης στα συμπαγή). Τότε μελετάμε κλάσεις ολόμορφων συναρτήσεων για τις οποίες τα ζεύγη (S_n(f), S_{λ_n}(f)) πραγματοποιούν προσεγγίσεις (όπου S_n(f) η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων του αναπτύγματος Taylor της f, γύρω από κάποιο στοιχείο ζ του Ω και (λ_n) μια γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών). Οι συναρτήσεις αυτές αποτελούν καθολικά στοιχεία για συγκεκριμένη ακολουθία τελεστών. Έπειτα, δουλεύουμε στον χώρο των πραγματικών, άπειρες φορές παραγωγίσιμων συναρτήσεων και θεωρούμε τον γραμμικό τελεστή Taylor (backward) shift με κέντρο το 0 που ορίζεται ως εξής: T(f)(x):=[f(x)-f(0)]/x, για x διάφορο του μηδενός και T(f)(0):=f'(0). Παρουσιάζουμε μια έννοια πολλαπλής καθολικότητας για μια πεπερασμένη συλλογή από υπακολουθίες της τροχιάς του Taylor shift τελεστή. Τέλος, αποδεικνύουμε ότι η κλάση αυτών των καθολικών στοιχείων έχει μια ιδιότητα παρεμβολής: δοσμένης ακολουθίας πραγματικών αριθμών, χωρίς σημείο συσσώρευσης, υπάρχει συνάρτηση σε αυτή τη κλάση, με προκαθορισμένες τιμές στα σημεία της ακολουθίας.