Αναλλοίωτες μετρικές Einstein σε πολλαπλότητες Stiefel και συμπαγείς ομάδες Lie

Abstract

A Riemannian manifold (M, g) is called Einstein if the Ricci tensor \Ric_g of the metric g satisfies the equation \Ric _g=\lambda g, for some real number \lambda. For the case of a Riemannian homogeneous space M=G/H, g), where G is a Lie group and H a closed subgroup of G, the metric g is called G-invariant if for all \al\in G the left translations \tau_{\al} : G/H \to G/H, p\mapsto \al p are isometries and is determined by \Ad(H)-invariant inner products on the tangent space T_o(G/H). These inner products depend on the isotropy representation of the homogeneous space, which can be either irreducible (in this case G-invariant metrics are Einstein) or reducible.The second case becomes more complicated if the isotropy representation contains some equivalent subrepresentations.In this case a complete description of such \Ad(H)-invariant inner products is quite complicated. Real, complex and quaternionic Stiefel manifols V_k\bb{R}^n=\SO(n)/\SO(n-k), V_{k}\bb{C}^n and V_k\bb{H}^n=\Sp(n)/\Sp(n-k) belong in this class of homogeneous spaces. Let \mathbb{K}=\bb{R}, \bb{C} or \bb{H}. A Stiefel manifold G/H=V_k\mathbb{K}^n is the set of all k-frames in \mathbb{K}^n. In the present thesis we study invariant Einstein metrics on these manifolds for \mathbb{K}=\bb{R} and \bb{H}, which belong in a subset of all G-invariant metrics.The method we use is the following: We consider a closed subgroup K of G such that H\subset K\subset N_G(H). Then the Stiefel manifold G/H is the total space of the fibration K/H\to G/H\to G/K. We consider the cases where the base G/K is either a generalized Wallach space, or a generalized flag manifold with two isotropy summands. In both cases, the G-invariant Einstein metrics that we obtain, are determined by \Ad(K)-invariant inner products on the tangent space \fr{m} of G/H, which is written as a direct sum of \fr{a}=T_o(K/H) and \fr{p}=T_o(G/K), the vertical and horizontal subspaces respectively, i.e. \fr{m}=\fr{a}\oplus\fr{p}. The second object of the present thesis is the search of left-invariant Einstein metrics, which are not naturally reductive, on the compact Lie groups SO(n) and Sp(n). The idea is to consider these Lie groups G as homogeneous spaces under the diffeomorphism G\cong (G\times K)/\Delta (K), where K is a closed subgroup of G and then study those left-invariant metrics on G, which are determined by \Ad(K)-invariant inner products on the tangent space \mathcal{M} of this homogeneous space. For those inner products we prove certain conditions for their parameters, so that corresponding left-invariant metrics are naturally reductive, according to theory of J. D'Atri and W. Ziller.By taking into account these conditions, we then prove existence of left-invariant Einstein metrics on the Lie groups G=SO(n), Sp(n), which are not naturally reductive.For both problems above the Einstein equation reduces to polynomial systems of equations, which we study (i.e. prove existence of positive real solutions, or find all solutions) by using extensively Gr\"obner bases theory.

Μια πολλαπλότητα Riemann (M, g) καλείται πολλαπλότητα Einstein εάν ο τανυστής Ricci Ric_g της μετρικής g ικανοποιεί την εξίσωση Ric_g = \lambda g, για κάποιο \lambda\in \bb{R}. Στους ομογενείς χώρους Riemann (M=G/H, g), όπου G είναι μια ομάδα Lie και Η μια κλειστή υποομάδα της, η μετρική g καλείται G-αναλλοίωτη εάν για κάθε \al\in G οι αριστερές μεταφορές \tau_{\al} : G/H\to G/H, p\mapsto \al p είναι ισομετρίες και καθορίζεται από \Ad(H)-αναλλοίωτα εσωτερικά γινόμενα στον εφαπτόμενο χώρο T_{o}(G/H). Τα γινόμενα αυτά εξαρτώνται από την ισοτροπική αναπαράσταση του ομογενούς χώρου, η οποία είναι είτε μη αναγώγιμη (όλες οι G-αναλλοίωτες μετρικές είναι Einstein) είτε αναγώγιμη. Η δεύτερη περίπτωση γίνεται πιο πολύπλοκη εάν οι υποαναπαραστάσεις της, είναι μεταξύ τους ισοδύναμες, διότι η πλήρης περιγραφή αλλά και ο χειρισμός τέτοιων γινομένων είναι αρκετά δύσκολος. Σε αυτή την κατηγορία ανήκουν και οι πραγματικές, μιγαδικές και υπερμιγαδικές (ή κβατερνιανές) πολλαπλότητες Stiefel V_k\bb{R}^{n}=\SO(n)/\SO(n-k), V_{k}\bb{C}^{n}=\SU(n)/\SU(n-k), V_{k}\bb{H}^{n}=\Sp(n)/\Sp(n-k). Γενικά, μια πολλαπλότητα Stiefel G/H = V_{k}\bb{K}^{n}, όπου \bb{K}=\bb{R}, \bb{C}, ή \bb{H} ορίζεται ως το σύνολο όλων των k-πλαισίων του χώρου \bb{Κ}^{n}. Στην παρούσα διατριβή μελετάμε, για την περίπτωση \bb{K}=\bb{R}, \bb{H}, μετρικές Einstein, οι οποίες ανήκουν σε ένα υποσύνολο των G-αναλλοίωτων μετρικών. Ειδικότερα, η μέθοδος που ακολουθούμε είναι η εξής: Αρχικά θεωρούμε μια κλειστή υποομάδα K της G με την ιδιότητα H\subset K\subset N_{G}(H). Τότε η πολλαπλότητα Stiefel G/H είναι ο ολικός χώρος της νηματοποίησης K/H\to G/H\to G/K. Θεωρούμε τις περιπτώσεις όπου η βάση G/K είναι είτε ένας γενικευμένος χώρος Wallach, είτε μια γενικευμένη πολλαπλότητα σημαιών με δύο ισοτροπικούς προσθεταίους. Σε κάθε περίπτωση οι μετρικές Einstein που βρίσκουμε, καθορίζονται από \Ad(K)-αναλλοίωτα εσωτερικά γινόμενα στον εφαπτόμενο χώρο \fr{m} του G/H, ο οποίος γράφεται ως ευθύ άθροισμα των εξής δύο υπόχωρων: του κάθετου \fr{a}=T_{o}(K/H) και του οριζόντιου \fr{p}=T_{o}(G/K), δηλαδή \fr{m}=\fr{a}\oplus\fr{p}. Το δεύτερο αντικείμενο μελέτης της διατριβής, είναι η εύρεση αριστερά αναλλοίωτων μετρικών Einstein, οι οποίες δεν είναι φυσικά αναγωγικές, στις συμπαγείς ομάδες Lie SO(n) και Sp(n). Η βασική ιδέα είναι να θεωρήσουμε τις ομάδες Lie G ως ομογενείς χώρους μέσω της αμφιδιαφόρισης G\cong (G\times K)/\Delta(K), όπου K μια κλειστή υποομάδα της G και να μελετήσουμε τις αριστερά αναλλοίωτες μετρικές στην ομάδα G, οι οποίες καθορίζονται από \Ad(K)-αναλλοίωτα εσωτερικά γινόμενα στον εφαπτόμενο χώρο \fr{M} του ομογενούς χώρου (G\times K)/\Delta(K). Για αυτά τα αναλλοίωτα εσωτερικά γινόμενα αποδεικνύουμε κατάλληλες συνθήκες για τις παραμέτρους τους, ώστε οι αντίστοιχες αριστερά αναλλοίωτες μετρικές στην G να είναι φυσικά αναγωγικές, σύμφωνα με τη θεωρία των J. D' Atri και W. Ziller. Τέλος, εκμεταλλευόμενοι καταλλήλως αυτές τις συνθήκες αποδεικνύουμε την ύπαρξη αριστερά αναλλοίωτων μετρικών Einstein στις ομάδες Lie G= \SO(n), \Sp(n) οι οποίες δεν είναι φυσικά αναγωγικές. Στα δύο παραπάνω προβλήματα η εξίσωση Einstein ανάγεται σε ένα πολυωνυμικό σύστημα εξισώσεων, το οποίο προκειμένου να το χειριστούμε (ύπαρξη θετικών λύσεων ή εύρεση όλων των λύσεων) χρησιμοποιούμε εκτενώς τη θεωρία βάσεων Gr\"obner.