Οριακές περιπτώσεις για τον τελεστή p(x)-Laplace

Abstract

The aim of this dissertation is the study of a non-homogeneous Neumann problem, where the p(x)-Laplacian is involved. We assume that the variable exponent p(·) can reach the limiting values of 1 and infinity in a subdomain of positive measure. The above situation is not the usual one, since most of the times in the literature, the variable exponent is away from 1 and infinity. The main reason for this, is to avoid some pathologies that may appear on the corresponding Sobolev spaces or on the p(x)-Laplace operator. For the “infinity” case we consider that p = ∞ in a subdomain. By considering a suitable sequence pk of bounded variable exponents such that pk → p and replacing p with pk in the original problem, we prove the existence of a solution uk for each of those intermediate ones. We show that the limit of the uk exists and after giving a variational characterization of it, in the part of the domain where p is bounded, we show that it is a viscosity solution in the part where p = ∞. Finally, we formulate the problem of which this limit function is a solution in the viscosity sense.For the “1” case we assume that p(·) is a step function defined in a domain Ω and equals 1 in a subdomain Ω1 and 2 in its complementary Ω2. By considering a suitable sequence pk of variable exponents such that pk → p and replacing p with pk in the original problem, we prove the existence of a solution uk for each of those intermediate ones. We also show, that under a hypotheses concerning the boundary data g, the limit of the sequence (uk) is a function u, which belongs to the space of functions of bounded variation and is a solution to the original p(·)-problem.

Σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η μελέτη ενός Neumann προβλήματος που αφορά τον τελεστή p(x)-Laplace, στο οποίο ο μεταβλητός εκθέτης p(·) λαμβάνει τις οριακές τιμές 1 και άπειρο σε ένα υποσύνολο θετικού μέτρου του αρχικού χωρίου Ω. Η παραπάνω κατάσταση δεν είναι η πλέον συνηθισμένη, καθώς στα περισσότερα προβλήματα που συναντώνται στη βιβλιογραφία, ο μεταβλητός εκθέτης είναι “μακρυά” από τις οριακές τιμές 1 και άπειρο, προκειμένου να αποφευχθούν τυχόν παθογένειες που εμφανίζονται είτε στους αντίστοιχους χώρους Sobolev μεταβλητού εκθέτη είτε στον τελεστή p(x)-Laplace. Η μελέτη των δύο περιπτώσεων έγινε ξεχωριστά. Στην περίπτωση του απείρου εμφανίζεται ο τελεστής ∞-Laplace, o οποίος δεν είναι σεμορφή απόκλισης. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να μην ορίζεται η ασθενής-μεταβολική διατύπωση για το πρόβλημα. Προκειμένου να έχουμε μία ασθενέστερη διατύπωση χρησιμοποιούμε την έννοια της viscosity λύσης. Θεωρώντας μία κατάλληλη ακολουθία από μεταβλητούς εκθέτες pk(·), η οποία συγκλίνει στο p(·), δείχνουμε ότι η ακολουθία λύσεων (uk), των ενδιάμεσων pk(·)-προβλημάτων, συγκλίνει σε μία συνάρτηση u, η οποία ικανοποιεί ένα μεταβολικό χαρακτηρισμό στο κομμάτι που ο μεταβλητός εκθέτης είναι φραγμένος, ενώ είναι άπειρο αρμονική (δηλ. viscosity λύση για τον τελεστή ∞-Laplace) στο κομμάτι που ο p(·) απειρίζεται. Για την περίπτωση που ο μεταβλητός εκθέτης λαμβάνει την τιμή 1 σε ένα υποσύνολο θετικού μέτρου η κατάσταση είναι διαφορετική. Λόγω της “έλλειψης” συμπάγειας του χώρου Sobolev W1,1 εμφανίζεται ο χώρος των συναρτήσεων φραγμένης κύμανσης. Θεωρώντας πάλι μία κατάλληλη ακολουθία από μεταβλητούς εκθέτες pk(·), δείχνουμε ότι η ακολουθία λύσεων (uk), των ενδιάμεσων pk(·)-προβλημάτων, συγκλίνει σε μίασυνάρτηση u, η οποία είναι συνάρτηση φραγμένης κύμανσης και είναι υποψήφια λύση για το αρχικό p(·)-πρόβλημα. Για να ορίσουμε την έννοια της λύσης χρησιμοποιούμε τη θεωρία του Anzelloti για διανυσματικά πεδία των οποίων η απόκλιση ως κατανομή είναι L ∞ συνάρτηση.