Γεωμετρικές εκδοχές λήμματος Schwarz και ημιομάδες ολόμορφων συναρτήσεων

Abstract

The Ph.D. Thesis lies in the research area of Complex Analysis and has tight connections with Geometric Function Theory and Potential Theory. The first two chapters are preliminaries and contain basic notation regarding holomorphic functions and Potential Theory. In the third chapter, already known aspects of Schwarz’s lemma are presented. Furthermore, we prove two monotonicity theorems for convex functions and a geometric version of Schwarz’s lemma for total absolute curvature. In the fourth chapter, we examine whether there exist analogous monotonicity theorems when the unit disk is equipped with the hyperbolic metric or not. Geometric versions of Schwarz’s lemma are proved while restricted to the class of hyperbolically convex functions. In the fifth chapter, the theory of semigroups of holomorphic self-maps of the disk is introduced. We state a problem that concerns the behavior of the image of a compact set under such semigroup. The asymptotic behavior is examined with a variety of tools from Hyperbolic Geometry and Potential Theory.

Η παρούσα διατριβή εμπίπτει κυρίως στην περιοχή της Μιγαδικής Ανάλυσης και σχετίζεται άμεσα με τη Γεωμετρία. Τα πρώτα δύο κεφάλαια είναι εισαγωγικά και περιέχουν έννοιες σχετικές με τις ολόμορφες συναρτήσεις αλλά και με τη Θεωρία Δυναμικού. Στο τρίτο κεφάλαιο, παρουσιάζονται αρχικά ήδη γνωστά θεωρήματα μονοτονίας, που αποτελούν γεωμετρικές παραλλαγές του Λήμματος Schwarz. Στην πορεία, αποδεικνύουμε δύο θεωρήματα μονοτονίας για κυρτές συναρτήσεις και μία γεωμετρική παραλλαγή του Λήμματος Schwarz για την ολική καμπυλότητα. Στο τέταρτο κεφάλαιο, εξετάζουμε αν υπάρχουν αντίστοιχα θεωρήματα μονοτονίας όταν ο μοναδιαίος δίσκος είναι εφοδιασμένος με την υπερβολική μετρική. Αποδεικνύουμε γεωμετρικές παραλλαγές του Λήμματος Schwarz για την κλάση των υπερβολικά κυρτών συναρτήσεων. Στο πέμπτο κεφάλαιο, γίνεται εισαγωγή στη θεωρία των ημιομάδων ολόμορφων συναρτήσεων του μοναδιαίου δίσκου. Διατυπώνουμε το πρόβλημα με το οποίο ασχολούμαστε, που αφορά τη συμπεριφορά της εικόνας ενός συμπαγούς συνόλου μέσω μίας ημιομάδας. Η ασυμπτωτική συμπεριφορά της εικόνας εξετάζεται υπό το πρίσμα μεγεθών της Υπερβολικής Γεωμετρίας και της Θεωρίας Δυναμικού.