Κατασκευή βαρυτικών μοντέλων ως θεωριών βαθμίδας σε μη μεταθετικούς χώρους

Abstract

Gravitational interaction in three and four dimensions is successfully described by Einstein's theory of General Relativity (GR) in which gravity is considered as a geometric property of space and time. However, its description admits an alternative description, that of a gauge theory of the groups of symmetries of the spacetimes considered, in which the gauge fields of the theory are identified as the vielbein and the spin connection. Gravity in three-dimensions is exactly equivalent to a Chern-Simons gauge theory of ISO(1,2), while if cosmological constant is included, the corresponding gauge groups are the SO(1,3) and SO(2,2) (dS3 and AdS3 groups) depending on its sign. In the four-dimensional case, things are more complicated, since considering a gauge theory of ISO(1,3), despite yielding correct expressions for the transformations of the fields and the curvature tensors, there is a drawback in the dynamic part, that is there is no option for an action to recover the Einstein-Hilbert one. Nevertheless, this issue in nicely addressed by considering an SO(1,4) gauge invariant action of Yang-Mills type and include a scalar field in the fundamental representation. Inclusion of the scalar field induces a spontaneous symmetry breaking which leads to the desired Einstein-Hilbert action. Moreover, there is also a similar programme in which Weyl gravity is successfully translated as a gauge theory of the four-dimensional conformal group, SO(2,4). In this case, too, one begins with an action of Yang-Mills type and breaks the redundant symmetry by imposing certain constraints (e.g. the torsionless condition), resulting with a final action which is identical to the one of the Weyl gravity. The above constructions can be nicely translated in the framework of noncommutative geometry. Specifically, in the large-energy regime (Planck scale), commutativity of the coordinates of the space is naturally assumed to be lifted, therefore, physical theories have to be modified along these lines. This is the essence of the projects that compose this thesis, that is giving insight in the gravitational interaction in this noncommutative regime. This is achieved by combining the successful description of gravity as gauge theories, in three and four dimensions, with the well-defined construction of gauge theories on noncommutative spaces leading to constructions of gravitational models as gauge theories on noncommutative (fuzzy) spaces. First, we worked in the three-dimensional case, in both Lorentzian and Euclidean signature, employing two fuzzy spaces for each case which are defined as foliations of the three-dimensional Minkowski and Euclidean space by fuzzy hyperboloids and fuzzy spheres, respectively. The construction of the gauge theory led to the transformations of the gauge fields, the curvature tensor expressions and an action of Chern-Simons type, which after variation, produced the equations of motion. It is remarkable that all results reduce to the ones of the Einstein's three-dimensional theory of gravity when the commutative limit is considered. Afterwards, we focused on the four-dimensional case, in which the noncommutative space considered was the four-dimensional fuzzy de Sitter space. Again, following the procedure for constructing the noncommutative gauge theory of gravity, transformations of the fields, curvature tensors and an action of Yang-Mills type were obtained. The results in this case are related to the ones of the gauging of the conformal group, in the commutative limit.

Η βαρυτική αλληλεπίδραση στις τρεις και τέσσερις διαστάσεις περιγράφεται επιτυχώς από τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας του Einstein στις οποίες η βαρύτητα θεωρείται ως μία ιδιότητα του χωρόχρονου. Παρόλα αυτά, η περιγραφή της βαρυτικής αλληλεπίδρασης επιδέχεται μία εναλλακτική προσέγγιση, αυτήν της θεωρίας βαθμίδας των ομάδων συμμετριών των θεωρούμενων χωρόχρονων, στις οποίες τα πεδία βαθμίδας ταυτοποιούνται με το vielbein και το spin connection. Η βαρύτητα στις τρεις διαστάσεις είναι ακριβώς ισοδύναμη με μία θεωρία βαθμίδας τύπου Chern Simons της ομάδας ISO(1,2), ενώ αν περιλαμβάνεται η κοσμολογική σταθερά τότε οι αντίστοιχες ομάδες είναι οι SO(1,3) και SO(2,2), ανάλογα με το πρόσημό της. Η τετραδιάστατη περίπτωση είναι λίγο πιο περίπλοκη, μιας και αν θεωρήσουμε μία θεωρία βαθμίδας, παρά το γεγονός ότι οι μετασχηματισμοί των πεδίων και οι εκφράσεις των τανυστών καμπυλότητας προκύπτουν ως αναμένεται, υπάρχει ένα κώλυμα στο δυναμικό κομμάτι της θεωρίας, διότι δεν μπορεί να οριστεί με αυτό τον τρόπο κάποια δράση, η μορφή της οποίας να συμπίπτει με την Einstein-Hilbert. Ωστόσο, το παραπάνω πρόβλημα ξεπερνιέται θεωρώντας μία SO(1,4) αναλλοίωτη δράση με την ταυτόχρονη συμπερίληψη ενός βαθμωτού πεδίου στη θεμελιώδη αναπαράσταση. Το πεδίο αυτό επάγει την αυθόρμητη παραβίαση της συμμετρίας και οδηγεί στη ζητούμενη Einstein-Hilbert δράση. Επιπλέον, υπάρχει ένα παρόμοιο πρόγραμμα στο οποίο η βαρύτητα Weyl μεταφράζεται επιτυχώς ως μία θεωρία βαθμίδας της τετραδιάστατης σύμμορφης ομάδας, SO(2,4). Παρομοίως, στην περίπτωση αυτή, κάποιος ξεκινάει με μια δράση τύπου Yang-Mills και με την επιβολή συγκεκριμένων συνδέσμων, σπάει την επιπλέον συμμετρία, καταλήγωντας με μία θεωρία ταυτόσημη με αυτήν της βαρύτητας Weyl. Οι παραπάνω κατασκευές μπορούν να μεταφερθούν στο πλαίσιο της μη μεταθετικής γεωμετρίας. Πιο συγκεκριμένα, στην περιοχή υψηλών ενεργειών (κλίμακα Planck) η μεταθετικότητα των συντεταγμένων του χώρου μπορεί να θεωρηθεί ότι αίρεται, επομένως οι φυσικές θεωρίες στην περιοχή αυτήν πρέπει να τροποποιηθούν κατάλληλα. Αυτή είναι η ουσία των εργασιών που συνθέτουν την παρούσα διατριβή, δηλαδή η διερεύνηση της βαρυτικής αλληλεπίδρασης στο μη μεταθετικό πλαίσιο εργασίας. Αυτό επιτυγχάνεται συνδυάζοντας την πετυχημένη περιγραφή της βαρύτητας ως θεωρίας βαθμίδας στις τρεις και τέσσερις διαστάσεις με την καλώς ορισμένη κατασκευή θεωριών βαθμίδας σε μη μεταθετικούς χώρους, με αποτέλεσμα την κατασκευή βαρυτικών μοντέλων ως θεωριών βαθμίδας σε μη μεταθετικούς (ασαφείς) χώρους. Αρχικά, δουλέψαμε στην τρισδιάστατη περίπτωση, τόσο στην Lorentzian, όσο και στην Ευκλείδεια περίπτωση, χρησιμοποιώντας δύο ασαφείς χώρους, οι οποίοι ορίζονται ως φυλλοποιήσεις των τρισδιάστατων Minkowski και Ευκλείδειου χώρων από ασαφή υπερβολοειδή και ασαφείς σφαίρες, αντίστοιχα. Η κατασκευή των θεωριών βαθμίδας οδήγησε στην εξεύρεση των μετασχηματισμών των πεδίων βαθμίδας (vielbein και spin connection) και των εκφράσεων των τανυστών καμπυλότητας καθώς επίσης και στην δράση τύπου Chern-Simons, από την οποία εξάχθηκαν οι εξισώσεις κίνησης. Είναι αξιοσημείωτο ότι όλα τα αποτελέσματα ανάγονται σε αυτά της τρισδιάστατης θεωρίας της βαρύτητας του Einstein κατά την θεώρηση του μεταθετικού ορίου. Έπειτα, επικεντρωθήκαμε στην τετραδιάστατη περίπτωση στην οποία ο μη μεταθετικός χώρος που θεωρήσαμε ήταν η ασαφής εκδοχή του τετραδιάστατου χώρου de Sitter. Παρομοίως με την τρισδιάστατη περίπτωση, ακολουθώντας την καθιερωμένη διαδικασία κατασκευής θεωριών βαθμίδας σε μη μεταθετικούς χώρους, υπολογίζονται οι μετασχηματισμοί των πεδίων βαθμίδας και οι εκφράσεις των τανυστών καμπυλότητας καθώς και ορίζεται αρχικά μία δράση τύπου Yang-Mills, η συμμετρία της οποίας παραβιάζεται από την επιβολή κατάλληλων συνδέσμων. Τα αποτελέσματα και στην περίπτωση αυτή συνάδουν με αυτά της σύμμορφης βαρύτητας στο μεταθετικό όριο.