Συμπερασματολογία για τις παραμέτρους της κατανομής Laplace

Abstract

The subject of this PhD thesis is in the field of Mathematical Statistics. First there is a presentation of Laplace distribution and its properties. Known general results concerning order statistics from independent samples are presented. In particular, there are also results in the case where the parent distribution is exponential. Moreover, new results concerning order statistics from the Laplace distribution are proved.The main results of the PhD thesis concerning the comparison of the location parameters of two populations from Laplace distribution follow. Exact tests for the comparison of the location parameters of two Laplace distributions with common yet unknown scale parameter based on corresponding independent samples are constructed. The likelihood ratio test statistic and the scaled difference of the best linear unbiased estimators of the parameters are considered. By conditioning on certain quantities, the exact distributions of the test statistics are expressed as mixtures of ratios of linear combinations of standard exponential random variables. Exact quantiles are found and exact confidence intervals are constructed for the difference of the means as well. The tests are numerically compared via their power.The comparison of the scale parameters of two populations from Laplace distribution follows. More specifically, exact tests for the comparison of the scale parameters of two Laplace distributions based on corresponding independent samples are constructed. The likelihood ratio test statistic, the ratio of the maximum likelihood estimators and the ratio of the best linear unbiased estimators of the parameters are considered. Following the same procedure as in the case of the comparison of the location parameters their exact distributions and their exact quantiles are presented. Unbiased tests and unbiased confidence intervals are constructed numerically. The tests are numerically compared via their power.

Το αντικείμενο της παρούσας διατριβής εντάσσεται ερευνητικά στο πεδίο της Μαθηματικής Στατιστικής. Αρχικά γίνεται παρουσίαση της κατανομής Laplace και ιδιοτήτων αυτής. Αναφέρονται γνωστά γενικά αποτελέσματα που αφορούν σε διατεταγμένες παρατηρήσεις που προκύπτουν από τυχαία δείγματα. Ειδικότερα, παρατίθενται αποτελέσματα στην περίπτωση που η αρχική κατανομή είναι η εκθετική. Στη συνέχεια αποδεικνύονται νέα αποτελέσματα για διατεταγμένες παρατηρήσεις που προκύπτουν από τυχαία δείγματα από την κατανομή Laplace.Ακολουθούν τα πρώτα κύρια αποτελέσματα της διατριβής που αφορούν στη σύγκριση των παραμέτρων θέσης δύο πληθυσμών που προέρχονται από την κατανομή Laplace. Κατασκευάζονται ακριβείς έλεγχοι για την ισότητα των παραμέτρων θέσης δύο κατανομών Laplace με κοινή, αλλά άγνωστη παράμετρο κλίμακας βάσει ανεξάρτητων τυχαίων δειγμάτων. Οι έλεγχοι που συζητώνται είναι ο έλεγχος γενικευμένου λόγου πιθανοφανειών και έλεγχοι που βασίζονται στην τυποποιημένη διαφορά των βέλτιστων γραμμικών αμερόληπτων εκτιμητών των παραμέτρων. Δεσμεύοντας σε συγκεκριμένες ποσότητες οι ακριβείς κατανομές τους εκφράζονται ως μείξεις κατανομών λόγων γραμμικών συνδυασμών ανεξάρτητων εκθετικών τυχαίων μεταβλητών. Αυτό δίνει τη δυνατότητα να υπολογιστούν κλασσικά ποσοστιαία σημεία καθώς και να κατασκευαστούν ακριβή διαστήματα εμπιστοσύνης για την διαφορά των δύο παραμέτρων θέσης. Τέλος, συγκρίνεται αριθμητικά η ισχύς των ελέγχων.Στη συνέχεια γίνεται σύγκριση των παραμέτρων κλίμακας δύο πληθυσμών που προέρχονται από την κατανομή Laplace. Ειδικότερα, κατασκευάζονται ακριβείς έλεγχοι για τη σύγκριση των παραμέτρων κλίμακας δύο κατανομών Laplace βάσει ανεξάρτητων τυχαίων δειγμάτων. Οι έλεγχοι που συζητώνται είναι ο έλεγχος γενικευμένου λόγου πιθανοφανειών και έλεγχοι που βασίζονται είτε στον λόγο των εκτιμητών μέγιστης πιθανοφάνειας είτε στον λόγο των βέλτιστων γραμμικών αμερόληπτων εκτιμητών των παραμέτρων. Υπολογίζεται η ακριβής συνάρτηση κατανομής των στατιστικών συναρτήσεων και μέσω αυτής κλασσικά ποσοστιαία σημεία. Επίσης, κατασκευάζονται αριθμητικά αμερόληπτοι έλεγχοι και αμερόληπτα διαστήματα εμπιστοσύνης για τον λόγο των παραμέτρων κλίμακας. Τέλος, συγκρίνεται αριθμητικά η ισχύς των ελέγχων.